12.6 神经网络的收敛性

在训练识别手写数字的神经网络过程中，没有使用传统梯度下降，而是用小批次学习来替代，读者对此可能会感到困惑。请回忆一下在线学习中曾经使用过的随机梯度下降。我们每次仅使用一个训练样本（k＝1）更新权重进行。虽然这是一种随机的方法，但与传统梯度下降相比，它通常能够得到精度极高的训练结果，并且收敛速度更快。子批次学习是随机梯度下降的一个特例：从包含n个样本的训练数据集中随机抽取样本数量为k的子集用于训练，其中1＜k＜n。相较于在线学习，子批次学习的优势在于它能够以向量的方式进行实现，并且能够提高计算效率。然而，仍旧能比传统梯度下降更快地完成权重更新。更直观地说，你可以把小批次学习看作是在一个具有代表性的人口子集上，预测总统选举的投票人数，而不是基于所有的人口进行预测。

此外，我们还额外增加了一些超参，如下降常数以及用于自适应学习速率的参数。原因在于，与简单的算法（如Adaline、逻辑斯谛回归以及支持向量机）相比，神经网络的训练难度更大。在多层神经网络中，通常包含成百上千，甚至能多达10亿个待优化的权重。让人头痛的是，输出函数的曲线并不平滑，而且容易陷入局部最优值，如下图所示：

请注意，上面是一个简化后的示意图，通常情况下神经网络的维度极高，其输出函数曲线的粗糙程度已经超出了人眼识别的范围。在这里，我们展示了在x轴上只包含一个权重的代价函数曲线。这里想传达的信息是，我们不希望算法陷入局部最优解。通过加大学习速率，我们可以轻松地跳出局部最优解。但是，如果学习速率过大，则算法可能会越过全局最优点。由于权重的初始值是随机的，意味着我们要给出一个优化方案解决一个完全错误的问题。通过前面定义的下降常数，我们可以在最初的优化阶段就快速达到目标代价的位置，而自适应学习速率则能帮助我们更好地实现全局最优点。