异或神经网络收敛到0.5

Question

我实现了以下神经网络来解决Python中的异或问题。我的神经网络由2个神经元的输入层、1个2个神经元的隐藏层和1个神经元的输出层组成。我使用Sigmoid函数作为隐藏层的激活函数，使用线性（恒等式）函数作为输出层的激活函数：

import numpy as np

def sigmoid(z):
    return 1/(1+np.exp(-z))

def s_prime(z):
    return np.multiply(sigmoid(z), sigmoid(1.0-z))

def init_weights(layers, epsilon):
    weights = []
    for i in range(len(layers)-1):
        w = np.random.rand(layers[i+1], layers[i]+1)
        w = w * 2*epsilon - epsilon
        weights.append(np.mat(w))
    return weights

def fit(X, Y, w, predict=False, x=None):
    w_grad = ([np.mat(np.zeros(np.shape(w[i]))) 
              for i in range(len(w))])
    for i in range(len(X)):
        x = x if predict else X[0]
        y = Y[0,i]
        # forward propagate
        a = x
        a_s = []
        for j in range(len(w)):
            a = np.mat(np.append(1, a)).T
            a_s.append(a)
            z = w[j] * a
            a = sigmoid(z)
        if predict: return a
        # backpropagate
        delta = a - y.T
        w_grad[-1] += delta * a_s[-1].T
        for j in reversed(range(1, len(w))):
            delta = np.multiply(w[j].T*delta, s_prime(a_s[j]))
            w_grad[j-1] += (delta[1:] * a_s[j-1].T)
    return [w_grad[i]/len(X) for i in range(len(w))]

def predict(x):
    return fit(X, Y, w, True, x)

####

X = np.mat([[0,0],
            [0,1],
            [1,0],
            [1,1]])
Y = np.mat([0,1,1,0])
layers = [2,2,1]
epochs = 10000
alpha = 0.5
w = init_weights(layers, 1)

for i in range(epochs):
    w_grad = fit(X, Y, w)
    print w_grad
    for j in range(len(w)):
        w[j] -= alpha * w_grad[j]

for i in range(len(X)):
    x = X[i]
    guess = predict(x)
    print x, ":", guess

反向传播似乎都是正确的；我想到的唯一问题是我在实现偏差单位时遇到的一些问题。无论哪种方式，每次运行代码时，每个输入的所有谓词都会收敛到大约0.5。我仔细检查了代码，似乎找不到问题所在。有人能指出我的实现有什么问题吗？非常感谢您的反馈。

如果出于任何原因，这可能会有所帮助，下面是我得到的输出：

[[0 0]] : [[ 0.5]]
[[0 1]] : [[ 0.49483673]]
[[1 0]] : [[ 0.52006739]]
[[1 1]] : [[ 0.51610963]]

Answer 1

您对正向和反向传播的实现或多或少是正确的。但是，您出错的地方很简单。第一个小错误是查看您的fit函数内部-特别是for循环中的第一条语句：

x = x if predict else X[0]

您是说如果您不进行预测（即执行训练），则在随机梯度下降的每次迭代期间选择的输入示例必须始终是第一个示例，即[0 0]（即X[0]）。这就是为什么您的所有预测都获得0.5的原因，因为您只使用第一个输入进行训练。您需要更改此项，以便它读取正确的示例，即examplei：

x = x if predict else X[i]

最后需要进行的更改是您的s\U prime函数。sigmoid函数的导数实际上就是这里的导数：

def s_prime(z):
    return np.multiply(sigmoid(z), sigmoid(1.0-z))

当您计算前向传播时，您已经计算了a_s中每个神经元的输出激活，因此当您计算这些神经元的局部导数时，您将输出激活直接提供给s_prime，因此您无需再次计算这些的sigmoid。

因此：

def s_prime(z):
    return np.multiply(z, 1.0-z)

一旦我做了这两个更改，我们现在就可以得到以下输出：

[[0 0]] : [[ 0.00239857]]
[[0 1]] : [[ 0.99816778]]
[[1 0]] : [[ 0.99816596]]
[[1 1]] : [[ 0.0021052]]

您可以看到，这或多或少与异或门的预期输出一致。最后一件我可以推荐的事情是，考虑到您当前的代码结构，10000次迭代在计算上太长了。我注意到，通过上述更正，我们能够在更少的迭代中达到预期的输出。我已经将迭代次数减少到1000次，并且将学习率提高到了0.75。改变我们现在得到的两件事：

[[0 0]] : [[ 0.03029435]]
[[0 1]] : [[ 0.95397528]]
[[1 0]] : [[ 0.95371525]]
[[1 1]] : [[ 0.04796917]]