26. 峰值功率受限时的信道容量

在某些应用中，传送器受到的限制不是平均功率而是瞬时峰值功率。信道容量的计算问题于是就变成了：系集中的所有函数对于所有t都小于或等于，在此条件下，如何（通过改变所传送符号的系集）使下式取最大值：

这种约束条件无法像平均功率限制那样很好地以数学方式给出。对于这种情景，我们最多获得一个对于所有有效的下限，一个“渐近”上限（对于大的有效）和当较小时的渐近C值。

定理20：一个信道的带宽为W，受功率为N的白色热噪声干扰，则其信道容量的下限为：

其中，S是允许传送的峰值功率。对于足够大的，有：

其中为任意小。当时（假定频带W的起点频率为0）

我们希望使接收信号的熵取最大值。如果很大，则近似在使传送系集的熵最大时，接收信号的熵取最大值。

放松对系集的条件，可以获得渐近的上限。假定该功率不是在每个时刻受限于S，而只是在样本点处受限。在这一弱化条件下，所传送系集的最大熵当然大于或等于在原条件下的最大熵。这个经过修改的问题很容易求解。如果不同的样本点相互独立的，而且有一个在从到范围内为常数的分布，即可得到最大熵。这个熵值可计算如下：

。

于是接收信号的熵将小于：

其中，当时，，减去白噪声的熵（），即可得到信道容量：

。

这就是我们想要的信道容量上限。

为获得下限，考虑同一函数系集。让这些函数传送一个具有三角传输特性的理想滤波器。其增益在频率0处为单位1，然后线性下降，在频率W处的增益为0。我们首先证明滤波器的输出函数在所有时间内（而不是取样点）的峰值功率上限为S。首先注意到脉冲进入滤波器后，在输出端得到：

此函数永远不会为负值。一般情况下的输入函数可以看作是一系列如下函数之和：

其中a为样本的函数，不大于。因此，输出也是上述非负形式的移位函数之和，且系数相同。这些函数是非负的，所以当所有系数a取其最大正值（即）时，获得对于任意时间t的最大正值。在这种情况下，输入函数为一个幅度为的常数，由于对于直流而言，该滤波器的增益为单位1，所以输出也相同。因此，输出系集的峰值功率为S。

利用适用于这一情景的定理，由输入系集的熵可以计算出输出系集的熵。输出熵等于输入熵加上滤波器的几何平均值：

因此，输出熵为：

信道容量大于：

。

我们现在希望证明：对于小的（峰值信号功率除以平均白噪声功率），则信道容量近似为：

更准确地说，当时，。由于平均信号功率P小于或等于峰值功率S，则可以得出，对于所有：

因此，如果可以找到一个函数系集，近似对应于，且受限于带宽W和峰值功率S，则可以证得结果。考虑以下类型的函数系集。t个采样的值相同，或者为或，接下来的t个采样也具有相同值，以此类推。一个系列的取值为随机选定，以概率取，以概率取。如果将这一系集通过具有三角增益特性的滤波器（对于直流为单位增益），则输入的峰值功率限于。此外，平均功率近似为S，取足够大的t值，即可趋近于该值。应用关于噪声与小信号之和的定理，可以求出这一系集与热噪声之和的熵。如果

足够小，这一定理将适用。（在选定t之后）取足够小，可以确保满足这一条件。熵功率将任意接近于S+N，因此，传送速率将任意接近于