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27. 保真度评价函数

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小牛编辑
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2023-12-01

对于一个离散信源,我们能够算出一个确定的信息生成速率,也就是其随机过程的熵。对于连续信源,情况就要复杂得多。首先,连续变化量可以取无数个值,需要无数个二进制数位才能准确表示。这意味着要将一个连续信源的输出传送到接收端,而且能够完全恢复,一般情况下需要有一个具有无穷大容量(单位为比特/秒)的信道。由于在一般情况下,信道中总会有一定数量的噪声,而且容量是有限的,所以不可能实现精确传送。

但这种说法模糊了真正的问题。实际上,对于连续信源,我们感兴趣的并不是精确传送,而是在特定容差范围内的传送。问题是,当我们仅需要特定的恢复保真度(采用适当的形式度量)时,能否为连续信源指定一个确定的生成速率。当然,随着保真度要求的增大,该速率会下降。可以证明,在非常一般的情况下,我们能够定义这样一个具有如下性质的速率:通过正确的信息编码,有可能通过一个容量等于该速率的信道来传送该信息,同时满足保真度要求。当信道容量更小时,则不足以正确传送该信息。

首先,对于传输保真度的概念,需要给出一种一般性的数学描述。考虑一组持续时间很长的消息,比如为T秒。一个信源可以描述如下:给出该信源在相关空间内选择特定消息的概率密度。一个给定通信系统可以描述如下(从外部视角来看):给出信源生成消息x而接收端恢复出消息y的条件概率。该系统作为一个整体(包括信源和传送系统),可以用发出消息x而最终输出为y的概率函数来描述。如果已知此函数,那么从保真度的角度来看,该系统的完整特性就是已知的。对保真度的任意评价在数学上必须对应于对应用的一种运算。这种运算至少要为这些系统建立一种简单的顺序关系;即,对于两个分别用表示的系统,必须能够根据我们的保真度准则做出以下判定之一:(1)第一个系统的保真度较高,(2)第二个系统的保真度较高,或者(3)它们的保真度相同。这意味着保真度准则可以用一个数值函数表示:

其参数的变化范围是所有可能存在的概率函数

我们现在将证明,在非常一般且合理的假定条件下,函数可以写为一种非常专业的形式,即在x和y的取值范围内,对函数求均值:

为得到这一结果,只需要假定:(1)信源和系统是各态历经的,这样,一个非常长的样本成为该系集典型代表的概率接近于1,(2)该评价是“合理”的,也就是说,通过观察典型输入,有可能基于这些样本给出一个尝试性评价;如果这些样本的持续时间增大,则这一尝试性评价将以概率1趋近于根据的全部知识所获得的精确评价。设该尝试性评价为。在与该系统相对应的高概率区域中的几乎所有(x,y),当时,函数趋近于一个常数:

另外,由于:

所以可写出:

这就给出了所要的结果。

函数具有x与y之间“距离”的一般特性。它衡量了在发送x,收到y时的意外程度(根据我们的保真度准则)。上面给出的一般性结果可以重新表述如下:只要使消息的持续时间T足够大,任何合理的评价都可以表示为一个距离函数的均值,这里所说的均值,是指根据发送消息x、接收消息y的概率,在x和y的集合上进行加权平均。

下面是几个简单的评价函数例子:

  1. RMS准则。

    在这种很常用的保真度度量中,距离函数就是相关联的函数空间中点x和点y之间普通欧氏距离的平方(只相当一个常数因子)。

  2. 频率加权RMS准则。更一般的情况下,在应用保真度的RMS度量之前,可以对不同频率分量应用不同权值。这相当于将通过一个赋形滤波器,以决定输出的平均功率。因此,设:




  3. 绝对误差准则。

  4. 耳朵和大脑的结构隐含了确定了一种评价或相当大量的评价,适用于语音或音乐传输的情况。例如,存在一种“可懂度”准则,在这一准则中,等于错误解读单词的频率,也就是发送消息x(t),被接收为y(t)。尽管在这些情况下无法给出的显式表示,则在原理上,可以通过足够多的试验确定这些情况。它的一些性质是从一些众所周知的听力试验结果中获得的,例如,耳朵对相位相对不够敏感,对振幅和频率的敏感度近似为对数特性。

  5. 离散情景可以看作是一种特殊化,在此情况下,我们根据错误频率来假设评价准则。因此,函数定义为:序列y中的符号不同于x中相应符号的数目,除以x中的总符号数。