1. Gibbs采样算法求解LDA的思路

首先，回顾LDA的模型图如下：

在Gibbs采样算法求解LDA的方法中，我们的$$alpha, eta$$是已知的先验输入,我们的目标是得到各个$$z_{dn}, w_{kn}$$对应的整体$$vec z,vec w$$的概率分布，即文档主题的分布和主题词的分布。由于我们是采用Gibbs采样法，则对于要求的目标分布，我们需要得到对应分布各个特征维度的条件概率分布。

具体到我们的问题，我们的所有文档联合起来形成的词向量$$vec w$$是已知的数据，不知道的是语料库主题$$vec z$$的分布。假如我们可以先求出w,z的联合分布$$p(vec w,vec z)$$，进而可以求出某一个词$$w_i$$对应主题特征$$z_i$$的条件概率分布$$p(z_i=k| vec w,vec z_{neg i})$$。其中，$$vec z_{neg i}$$代表去掉下标为i的词后的主题分布。有了条件概率分布$$p(z_i=k| vec w,vec z_{neg i})$$，我们就可以进行Gibbs采样，最终在Gibbs采样收敛后得到第i个词的主题。

如果我们通过采样得到了所有词的主题,那么通过统计所有词的主题计数，就可以得到各个主题的词分布。接着统计各个文档对应词的主题计数，就可以得到各个文档的主题分布。

以上就是Gibbs采样算法求解LDA的思路。

2. 主题和词的联合分布与条件分布的求解

从上一节可以发现，要使用Gibbs采样求解LDA，关键是得到条件概率$$p(z_i=k| vec w,vec z_{neg i})$$的表达式。那么这一节我们的目标就是求出这个表达式供Gibbs采样使用。

首先我们简化下Dirichlet分布的表达式,其中$$triangle(alpha)$$是归一化参数：$$Dirichlet(vec p| vec alpha) = frac{Gamma(sumlimits_{k=1}Kalpha_k)}{prod_{k=1}KGamma(alpha_k)}prod_{k=1}Kp_k{alpha_k-1} = frac{1}{triangle( vec alpha)}prod_{k=1}Kp_k{alpha_k-1}$$

现在我们先计算下第d个文档的主题的条件分布$$p(vec z_d|alpha)$$，在上一篇中我们讲到$$alpha to theta_d to vec z_d$$组成了Dirichlet-multi共轭,利用这组分布，计算$$p(vec z_d| vec alpha)$$如下：

$$begin{aligned} p(vec z_d| vec alpha) & = int p(vec z_d | vec theta_d) p(theta_d | vec alpha) d vec theta_d & = int prod_{k=1}Kp_k{n_d{(k)}} Dirichlet(vec alpha) d vec theta_d & = int prod_{k=1}Kp_k{n_d{(k)}} frac{1}{triangle( vec alpha)}prod_{k=1}Kp_k{alpha_k-1}d vec theta_d & = frac{1}{triangle( vec alpha)} int prod_{k=1}Kp_k{n_d^{(k)} + alpha_k-1}d vec theta_d & = frac{triangle(vec n_d + vec alpha)}{triangle( vec alpha)} end{aligned}$$

其中，在第d个文档中，第k个主题的词的个数表示为：$$n_d{(k)}$$, 对应的多项分布的计数可以表示为$$vec n_d = (n_d{(1)}, n_d{(2)},...n_d{(K)})$$

有了单一一个文档的主题条件分布，则可以得到所有文档的主题条件分布为：$$p(vec z|vec alpha) = prod_{d=1}Mp(vec z_d|vec alpha) = prod_{d=1}M frac{triangle(vec n_d + vec alpha)}{triangle( vec alpha)}$$

同样的方法，可以得到，第k个主题对应的词的条件分布$$p(vec w|vec z, vec eta)$$为：$$p(vec w|vec z, vec eta) =prod_{k=1}Kp(vec w_k|vec z, vec eta) =prod_{k=1}K frac{triangle(vec n_k + vec eta)}{triangle( vec eta)}$$

其中，第k个主题中，第v个词的个数表示为：$$n_k{(v)}$$, 对应的多项分布的计数可以表示为$$vec n_k = (n_k{(1)}, n_k{(2)},...n_k{(V)})$$

最终我们得到主题和词的联合分布$$p(vec w, vec z| vec alpha, vec eta)$$如下：$$p(vec w, vec z) propto p(vec w, vec z| vec alpha, vec eta) = p(vec z|vec alpha) p(vec w|vec z, vec eta) = prod_{d=1}M frac{triangle(vec n_d + vec alpha)}{triangle( vec alpha)}prod_{k=1}K frac{triangle(vec n_k + vec eta)}{triangle( vec eta)}$$

有了联合分布，现在我们就可以求Gibbs采样需要的条件分布$$p(z_i=k| vec w,vec z_{neg i})$$了。需要注意的是这里的i是一个二维下标，对应第d篇文档的第n个词。

对于下标i,由于它对应的词$$w_i$$是可以观察到的，因此我们有：$$p(z_i=k| vec w,vec z_{neg i}) propto p(z_i=k, w_i =t| vec w_{neg i},vec z_{neg i})$$

对于$$z_i=k, w_i =t$$,它只涉及到第d篇文档和第k个主题两个Dirichlet-multi共轭，即：

$$vec alpha to vec theta_d to vec z_d$$

$$vec eta to vec beta_k to vec w_{(k)}$$

其余的M+K-2个Dirichlet-multi共轭和它们这两个共轭是独立的。如果我们在语料库中去掉$$z_i,w_i,$$并不会改变之前的M+K个Dirichlet-multi共轭结构，只是向量的某些位置的计数会减少，因此对于$$vec theta_d, vec beta_k$$,对应的后验分布为：$$p(vec theta_d | vec w_{neg i},vec z_{neg i}) = Dirichlet(vec theta_d | vec n_{d, neg i} + vec alpha)$$

$$p(vec beta_k | vec w_{neg i},vec z_{neg i}) = Dirichlet(vec beta_k | vec n_{k, neg i} + vec eta)$$

现在开始计算Gibbs采样需要的条件概率：

$$begin{aligned} p(z_i=k| vec w,vec z_{neg i}) & propto p(z_i=k, w_i =t| vec w_{neg i},vec z_{neg i}) & = int p(z_i=k, w_i =t, vec theta_d , vec beta_k| vec w_{neg i},vec z_{neg i}) dvec theta_d dvec beta_k & = int p(z_i=k, vec theta_d | vec w_{neg i},vec z_{neg i})p(w_i=t, vec beta_k | vec w_{neg i},vec z_{neg i}) dvec theta_d dvec beta_k & = int p(z_i=k|vec theta_d )p( vec theta_d | vec w_{neg i},vec z_{neg i})p(w_i=t|vec beta_k)p(vec beta_k | vec w_{neg i},vec z_{neg i}) dvec theta_d dvec beta_k & = int p(z_i=k|vec theta_d ) Dirichlet(vec theta_d | vec n_{d, neg i} + vec alpha) dvec theta_d & * int p(w_i=t|vec beta_k) Dirichlet(vec beta_k | vec n_{k, neg i} + vec eta) dvec beta_k & = int theta_{dk} Dirichlet(vec theta_d | vec n_{d, neg i} + vec alpha) dvec theta_d int beta_{kt} Dirichlet(vec beta_k | vec n_{k, neg i} + vec eta) dvec beta_k & = E_{Dirichlet(theta_d)}(theta_{dk})E_{Dirichlet(beta_k)}(beta_{kt})end{aligned}$$

在上一篇LDA基础里我们讲到了Dirichlet分布的期望公式，因此我们有：

$$E_{Dirichlet(theta_d)}(theta_{dk}) = frac{n_{d, neg i}{k} + alpha_k}{sumlimits_{s=1}Kn_{d, neg i}^{s} + alpha_s}$$

$$E_{Dirichlet(beta_k)}(beta_{kt})= frac{n_{k, neg i}{t} + eta_t}{sumlimits_{f=1}Vn_{k, neg i}^{f} + eta_f}$$

最终我们得到每个词对应主题的Gibbs采样的条件概率公式为：

$$p(z_i=k| vec w,vec z_{neg i}) = frac{n_{d, neg i}{k} + alpha_k}{sumlimits_{s=1}Kn_{d, neg i}{s} + alpha_s} frac{n_{k, neg i}{t} + eta_t}{sumlimits_{f=1}Vn_{k, neg i}{f} + eta_f}$$

有了这个公式，我们就可以用Gibbs采样去采样所有词的主题，当Gibbs采样收敛后，即得到所有词的采样主题。

利用所有采样得到的词和主题的对应关系，我们就可以得到每个文档词主题的分布$$theta_d$$和每个主题中所有词的分布$$beta_k$$。

3. LDA Gibbs采样算法流程总结

现在我们总结下LDA Gibbs采样算法流程。首先是训练流程：

1） 选择合适的主题数K, 选择合适的超参数向量$$vec alpha,vec eta$$

2） 对应语料库中每一篇文档的每一个词，随机的赋予一个主题编号z

3) 重新扫描语料库，对于每一个词，利用Gibbs采样公式更新它的topic编号，并更新语料库中该词的编号。

4） 重复第2步的基于坐标轴轮换的Gibbs采样，直到Gibbs采样收敛。

5） 统计语料库中的各个文档各个词的主题，得到文档主题分布$$theta_d$$，统计语料库中各个主题词的分布，得到LDA的主题与词的分布$$beta_k$$。

下面我们再来看看当新文档出现时，如何统计该文档的主题。此时我们的模型已定，也就是LDA的各个主题的词分布$$beta_k$$已经确定，我们需要得到的是该文档的主题分布。因此在Gibbs采样时，我们的$$E_{Dirichlet(beta_k)}(beta_{kt})$$已经固定，只需要对前半部分$$E_{Dirichlet(theta_d)}(theta_{dk})$$进行采样计算即可。

现在我们总结下LDA Gibbs采样算法的预测流程：

1） 对应当前文档的每一个词，随机的赋予一个主题编号z

2) 重新扫描当前文档，对于每一个词，利用Gibbs采样公式更新它的topic编号。

3） 重复第2步的基于坐标轴轮换的Gibbs采样，直到Gibbs采样收敛。

4） 统计文档中各个词的主题，得到该文档主题分布。

4. LDA Gibbs采样算法小结

使用Gibbs采样算法训练LDA模型，我们需要先确定三个超参数K, $$vec alpha,vec eta$$。其中选择一个合适的K尤其关键,这个值一般和我们解决问题的目的有关。如果只是简单的语义区分，则较小的K即可，如果是复杂的语义区分，则K需要较大，而且还需要足够的语料。

由于Gibbs采样可以很容易的并行化，因此也可以很方便的使用大数据平台来分布式的训练海量文档的LDA模型。以上就是LDA Gibbs采样算法。