在RNN模型里，我们讲到了RNN具有如下的结构，每个序列索引位置t都有一个隐藏状态h^{(t)}。

如果我们略去每层都有的$$o{(t)}, L{(t)}, y^{(t)}$$，则RNN的模型可以简化成如下图的形式：

图中可以很清晰看出在隐藏状态$$h{(t)}$$由$$x{(t)}$$和$$h{(t-1)}$$得到。得到$$h{(t)}$$后一方面用于当前层的模型损失计算，另一方面用于计算下一层的$$h^{(t+1)}$$。

由于RNN梯度消失的问题，大牛们对于序列索引位置t的隐藏结构做了改进，可以说通过一些技巧让隐藏结构复杂了起来，来避免梯度消失的问题，这样的特殊RNN就是我们的LSTM。由于LSTM有很多的变种，这里我们以最常见的LSTM为例讲述。LSTM的结构如下图：

可以看到LSTM的结构要比RNN的复杂的多，真佩服牛人们怎么想出来这样的结构，然后这样居然就可以解决RNN梯度消失的问题？由于LSTM怎么可以解决梯度消失是一个比较难讲的问题，我也不是很熟悉，这里就不多说，重点回到LSTM的模型本身。

2. LSTM模型结构剖析

上面我们给出了LSTM的模型结构，下面我们就一点点的剖析LSTM模型在每个序列索引位置t时刻的内部结构。

从上图中可以看出，在每个序列索引位置t时刻向前传播的除了和RNN一样的隐藏状态$$h{(t)}$$，还多了另一个隐藏状态，如图中上面的长横线。这个隐藏状态我们一般称为细胞状态(Cell State)，记为$$C{(t)}$$。如下图所示：

除了细胞状态，LSTM图中还有了很多奇怪的结构，这些结构一般称之为门控结构(Gate)。LSTM在在每个序列索引位置t的门一般包括遗忘门，输入门和输出门三种。下面我们就来研究上图中LSTM的遗忘门，输入门和输出门以及细胞状态。

2.1 LSTM之遗忘门

遗忘门（forget gate）顾名思义，是控制是否遗忘的，在LSTM中即以一定的概率控制是否遗忘上一层的隐藏细胞状态。遗忘门子结构如下图所示：

图中输入的有上一序列的隐藏状态$$h{(t-1)}$$和本序列数据$$x{(t)}$$，通过一个激活函数，一般是sigmoid，得到遗忘门的输出$$f{(t)}$$。由于sigmoid的输出$$f{(t)}$$在[0,1]之间，因此这里的输出$$f{(t)}$$代表了遗忘上一层隐藏细胞状态的概率。用数学表达式即为：$$f{(t)} = sigma(W_fh{(t-1)} + U_fx{(t)} + b_f)$$

其中$$W_f, U_f, b_f$$为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。$$sigma$$为sigmoid激活函数。

2.2 LSTM之输入门

输入门（input gate）负责处理当前序列位置的输入，它的子结构如下图：

从图中可以看到输入门由两部分组成，第一部分使用了sigmoid激活函数，输出为$$i{(t)}$$,第二部分使用了tanh激活函数，输出为$$a{(t)}$$, 两者的结果后面会相乘再去更新细胞状态。用数学表达式即为：

$$i{(t)} = sigma(W_ih{(t-1)} + U_ix^{(t)} + b_i)$$

$$a{(t)} =tanh(W_ah{(t-1)} + U_ax^{(t)} + b_a)$$

其中$$W_i, U_i, b_i, W_a, U_a, b_a$$,为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。$$sigma$$为sigmoid激活函数。

2.3 LSTM之细胞状态更新

在研究LSTM输出门之前，我们要先看看LSTM之细胞状态。前面的遗忘门和输入门的结果都会作用于细胞状态$$C{(t)}$$。我们来看看从细胞状态$$C{(t-1)}$$如何得到$$C^{(t)}$$。如下图所示：

细胞状态$$C{(t)}$$由两部分组成，第一部分是$$C{(t-1)}$$和遗忘门输出$$f{(t)}$$的乘积，第二部分是输入门的$$i{(t)}$$和$$a{(t)}$$的乘积，即：$$C{(t)} = C{(t-1)} odot f{(t)} + i{(t)} odot a{(t)}$$

其中，$$odot$$为Hadamard积，在DNN中也用到过。

2.4 LSTM之输出门

有了新的隐藏细胞状态$$C^{(t)}$$，我们就可以来看输出门了，子结构如下：

从图中可以看出，隐藏状态$$h{(t)}$$的更新由两部分组成，第一部分是$$o{(t)}$$, 它由上一序列的隐藏状态$$h{(t-1)}$$和本序列数据$$x{(t)}$$，以及激活函数sigmoid得到，第二部分由隐藏状态$$C{(t)}$$和tanh激活函数组成, 即：$$o{(t)} = sigma(W_oh{(t-1)} + U_ox{(t)} + b_o)h{(t)} = o{(t)} odot tanh(C^{(t)})$$

通过本节的剖析，相信大家对于LSTM的模型结构已经有了解了。当然，有些LSTM的结构和上面的LSTM图稍有不同，但是原理是完全一样的。

3. LSTM前向传播算法

现在我们来总结下LSTM前向传播算法。LSTM模型有两个隐藏状态$$h{(t)}, C{(t)}$$，模型参数几乎是RNN的4倍，因为现在多了$$W_f, U_f, b_f, W_a, U_a, b_a, W_i, U_i, b_i, W_o, U_o, b_o$$这些参数。

前向传播过程在每个序列索引位置的过程为：

1）更新遗忘门输出：$$f{(t)} = sigma(W_fh{(t-1)} +U_fx^{(t)} + b_f)$$

2）更新输入门两部分输出：$$i{(t)} = sigma(W_ih{(t-1)} + U_ix{(t)} + b_i)a{(t)} = tanh(W_ah{(t-1)} + U_ax{(t)} + b_a)$$

3）更新细胞状态：$$C{(t)} = C{(t-1)} odot f{(t)} + i{(t)} odot a^{(t)}$$

4）更新输出门输出：$$o{(t)} = sigma(W_oh{(t-1)} + U_ox{(t)} + b_o)h{(t)} = o{(t)} odot tanh(C{(t)})$$

5）更新当前序列索引预测输出：$$hat{y}{(t)} = sigma(Vh{(t)} + c)$$

4. LSTM反向传播算法推导关键点

有了LSTM前向传播算法，推导反向传播算法就很容易了， 思路和RNN的反向传播算法思路一致，也是通过梯度下降法迭代更新我们所有的参数，关键点在于计算所有参数基于损失函数的偏导数。

在RNN中，为了反向传播误差，我们通过隐藏状态$$h{(t)}$$的梯度$$delta{(t)}$$一步步向前传播。在LSTM这里也类似。只不过我们这里有两个隐藏状态$$h{(t)}$$和$$C{(t)}$$。因此这里我们要定义两个$$delta$$来一步步反向传播，即：

$$delta_h{(t)} = frac{partial L}{partial h{(t)}}$$

$$delta_C{(t)} = frac{partial L}{partial C{(t)}}$$

而在最后的序列索引位置$$tau$$的$$delta_h{(tau)}$$和$$ delta_C{(tau)}$$为：

$$delta_h{(tau)} =frac{partial L}{partial o{(tau)}} frac{partial o{(tau)}}{partial h{(tau)}} = VT(hat{y}{(tau)} - y^{(tau)})$$

$$delta_C{(tau)} =frac{partial L}{partial h{(tau)}} frac{partial h{(tau)}}{partial C{(tau)}} = delta_h{(tau)} odot o{(tau)} odot (1 - tanh2(C{(tau)}))$$

接着我们由$$delta_h{(t+1)}$$和$$delta_C{(t+1)}$$反向推导$$delta_h{(t)}$$和$$delta_C{(t)}$$

$$delta_h{(t)}$$的反向推导和RNN中的类似，因为它的梯度误差由前一层$$delta_h{(t+1)}$$的梯度误差和本层的输出梯度误差两部分组成，即：$$delta_h{(t)} =frac{partial L}{partial o{(t)}} frac{partial o{(t)}}{partial h{(t)}} + frac{partial L}{partial h{(t+1)}}frac{partial h{(t+1)}}{partial h{(t)}} = VT(hat{y}{(t)} - y{(t)}) + WTdelta{(t+1)}diag(1-(h{(t+1)})2)$$

而$$delta_C{(t)}$$的反向梯度误差由前一层$$delta_C{(t+1)}$$的梯度误差和本层的从$$h{(t)}$$传回来的梯度误差两部分组成，即：$$delta_C{(t)} =frac{partial L}{partial C{(t+1)}} frac{partial C{(t+1)}}{partial C{(t)}} + frac{partial L}{partial h{(t)}}frac{partial h{(t)}}{partial C{(t)}} = delta_C{(t+1)}odot f{(t+1)} + delta_h{(t)} odot o{(t)} odot (1 - tanh2(C{(t)}))$$

有了$$delta_h{(t)}$$和$$delta_C{(t)}$$， 计算这一大堆参数的梯度就很容易了，这里只给出$$W_f$$的梯度计算过程，其他的$$U_f, b_f, W_a, U_a, b_a, W_i, U_i, b_i, W_o, U_o, b_o, V, c$$的梯度大家只要照搬就可以了。$$frac{partial L}{partial W_f} = sumlimits_{t=1}{tau}frac{partial L}{partial C{(t)}} frac{partial C{(t)}}{partial f{(t)}} frac{partial f{(t)}}{partial W_f} = delta_C{(t)} odot C{(t-1)} odot f{(t)}(1-f{(t)}) (h{(t-1)})^T$$

5. LSTM小结

LSTM虽然结构复杂，但是只要理顺了里面的各个部分和之间的关系，进而理解前向反向传播算法是不难的。当然实际应用中LSTM的难点不在前向反向传播算法，这些有算法库帮你搞定，模型结构和一大堆参数的调参才是让人头痛的问题。不过，理解LSTM模型结构仍然是高效使用的前提。