我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：$$Ax=lambda x$$

其中A是一个$$n times n$$的矩阵，x是一个n维向量，则我们说$$lambda$$是矩阵A的一个特征值，而x是矩阵A的特征值$$lambda$$所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值$$lambda_1 leq lambda_2 leq ... leq lambda_n$$,以及这n个特征值所对应的特征向量$${w_1,w_2,...w_n}$$，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：$$A=WSigma W^{-1}$$

其中W是这n个特征向量所张成的$$n times n$$维矩阵，而$$Sigma$$为这n个特征值为主对角线的$$n times n$$维矩阵。

一般我们会把W的这n个特征向量标准化，即满足$$||w_i||_2 =1$$, 或者说$$w_iTw_i =1$$，此时W的n个特征向量为标准正交基，满足$$WTW=I$$，即$$WT=W{-1}$$, 也就是说W为酉矩阵。

这样我们的特征分解表达式可以写成$$A=WSigma W^T$$

注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2. SVD的定义

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个$$m times n$$的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：$$A = USigma V^T$$

其中U是一个$$m times m$$的矩阵，$$Sigma$$是一个$$m times n$$的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个$$n times n$$的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足$$UTU=I, VTV=I$$。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

那么我们如何求出SVD分解后的U, $$Sigma$$, V这三个矩阵呢？

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到$$n times n$$的一个方阵$$ATA$$。既然$$ATA$$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：$$(A^TA)v_i = lambda_i v_i$$

这样我们就可以得到矩阵$$ATA$$的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将$$ATA$$的所有特征向量张成一个$$n times n$$的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到$$m times m$$的一个方阵$$AAT$$。既然$$AAT$$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：$$(AA^T)u_i = lambda_i u_i$$

这样我们就可以得到矩阵$$AAT$$的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将$$AAT$$的所有特征向量张成一个$$m times m$$的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵$$Sigma$$没有求出了。由于$$Sigma$$除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值$$sigma$$就可以了。

我们注意到:$$A=USigma VT Rightarrow AV=USigma VTV Rightarrow AV=USigma Rightarrow Av_i = sigma_i u_i Rightarrow sigma_i = frac {Av_i} {u_i}$$

这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵$$Sigma$$。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说$$ATA$$的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而$$AAT$$的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。$$A=USigma VT Rightarrow AT=VSigma UT Rightarrow ATA =VSigma UTUSigma VT = VSigma2VT$$

上式证明使用了:$$UTU=I, SigmaT=Sigma$$。可以看出$$ATA$$的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到$$AAT$$的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：$$sigma_i = sqrt{lambda_i}$$

这样也就是说，我们可以不用$$sigma_i =frac {Av_i}{u_i}$$来计算奇异值，也可以通过求出$$A^TA$$的特征值取平方根来求奇异值。

3. SVD计算举例

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：

$$mathbf{A} = left( begin{array}{ccc} 0& 1 1& 1 1&0 end{array} right)$$

我们首先求出$$ATA$$和$$AAT$$

$$mathbf{A^TA} = left( begin{array}{ccc} 0& 1 &1 1&1&0 end{array} right) left( begin{array}{ccc} 0& 1 1& 1 1&0 end{array} right) = left( begin{array}{ccc} 2& 1 1&2 end{array} right)$$

$$mathbf{AA^T} = left( begin{array}{ccc} 0& 1 1& 1 1&0 end{array} right) left( begin{array}{ccc} 0& 1 &1 1&1&0 end{array} right) = left(begin{array}{ccc} 1& 1 &01& 2 &1 0& 1&1 end{array} right)$$

进而求出$$A^TA$$的特征值和特征向量：$$lambda_1= 3; v_1 = left( begin{array}{ccc} frac {1} {sqrt{2}} frac {1} {sqrt{2}}end{array} right); lambda_2= 1; v_2 = left( begin{array}{ccc} frac {-1}{sqrt{2}} frac {1} {sqrt{2}}end{array} right)$$

接着求$$AA^T$$的特征值和特征向量：

$$lambda_1= 3; u_1 = left( begin{array}{ccc} frac {1} {sqrt{6}} frac {2} {sqrt{6}} frac {1} {sqrt{6}}end{array} right); lambda_2= 1; u_2 = left( begin{array}{ccc} frac {1} {sqrt{2}} 0 frac {-1} {sqrt{2}}end{array} right); lambda_3= 0; u_3 = left( begin{array}{ccc} frac {1} {sqrt{3}} frac {-1} {sqrt{3}} frac {1} {sqrt{3}}end{array} right)$$

利用$$Av_i = sigma_i u_i, i=1,2$$求奇异值：

$$left(begin{array}{ccc} 0& 11& 1 1&0 end{array} right) left( begin{array}{ccc} frac {1} {sqrt{2}} frac {1} {sqrt{2}}end{array} right) = sigma_1 left( begin{array}{ccc} frac {1} {sqrt{6}} frac {2} {sqrt{6}} frac {1} {sqrt{6}}end{array} right)Rightarrow sigma_1=sqrt{3}$$

$$left( begin{array}{ccc} 0& 11& 11&0 end{array} right) left( begin{array}{ccc} frac {-1} {sqrt{2}} frac {1} {sqrt{2}} end{array} right) = sigma_2 left( begin{array}{ccc} frac {1} {sqrt{2}} 0 frac {-1} {sqrt{2}}end{array} right)Rightarrow sigma_2=1$$

当然，我们也可以用$$sigma_i = sqrt{lambda_i}$$直接求出奇异值为$$sqrt{3}$$和1.

最终得到A的奇异值分解为：$$A=USigma V^T = left( begin{array}{ccc} frac {1} {sqrt{6}} & frac {1} {sqrt{2}} & frac {1} {sqrt{3}}frac {2} {sqrt{6}} & 0 & frac {-1} {sqrt{3}} frac {1} {sqrt{6}} & frac {-1} {sqrt{2}} & frac {1} {sqrt{3}}end{array} right) left( begin{array}{ccc} sqrt{3} & 0 0 & 1 0 & 0 end{array} right) left( begin{array}{ccc} frac {1} {sqrt{2}}& frac {1} {sqrt{2}} frac {-1} {sqrt{2}}& frac {1} {sqrt{2}}end{array} right)$$

4. SVD的一些性质

上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：$$A_{m times n} = U_{m times m}Sigma_{m times n} VT_{n times n} approx U_{m times k}Sigma_{k times k}VT_{k times n}$$

其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵$$U_{m times k},Sigma_{k times k} ,V^T_{k times n}$$来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

5. SVD用于PCA

在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵$$XTX$$的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵$$XTX$$，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵$$XTX$$最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵$$XTX$$，也能求出我们的右奇异矩阵V。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设我们的样本是$$m times n$$的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵$$XXT$$最大的d个特征向量张成的$$mtimes d$$维矩阵U，则我们如果进行如下处理：$$X'{dtimes n} = U{d times m}TX_{m times n}$$

可以得到一个$$d times n$$的矩阵X‘,这个矩阵和我们原来的$$mtimes n$$维样本矩阵X相比，行数从m减到了k，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。

6. SVD小结

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。