GMM

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2023-12-01

本文简明讲述GMM-HMM在语音识别上的原理，建模和测试过程。这篇blog只回答三个问题：

1.什么是Hidden Markov Model？

HMM要解决的三个问题:

1) Likelihood

2) Decoding

3) Training

GMM是神马？怎样用GMM求某一音素（phoneme）的概率？
GMM+HMM大法解决语音识别

3.1 识别

3.2 训练

3.2.1 Training the params of GMM

3.2.2 Training the params of HMM

首先声明我是做视觉的不是做语音的，迫于**需要24小时速成语音。上网查GMM-HMM资料中文几乎为零，英文也大多是paper。苦苦追寻终于貌似搞懂了GMM-HMM，感谢语音组老夏（http://weibo.com/ibillxia）提供资料给予指导。本文结合最简明的概括还有自己一些理解应运而生，如有错误望批评指正。

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什么是Hidden Markov Model？

ANS：一个有隐节点（unobservable）和可见节点（visible）的马尔科夫过程（见详解）。

隐节点表示状态，可见节点表示我们听到的语音或者看到的时序信号。

最开始时，我们指定这个HMM的结构，训练HMM模型时：给定n个时序信号y1...yT（训练样本）, 用MLE（typicallyimplemented inEM）估计参数：

N个状态的初始概率
状态转移概率a
输出概率b

在语音处理中，一个word由若干phoneme（音素）组成；
每个HMM对应于一个word或者音素（phoneme）
一个word表示成若干states，每个state表示为一个音素

用HMM需要解决3个问题：

1）.Likelihood: 一个HMM生成一串observation序列x的概率<the Forward algorithm>

其中，αt（sj）表示HMM在时刻t处于状态j，且observation = {x1,...,xt}的概率，

aij是状态i到状态j的转移概率，

bj（xt）表示在状态j的时候生成xt的概率，

2）.Decoding: 给定一串observation序列x，找出最可能从属的HMM状态序列<the Viterbi algorithm>

在实际计算中会做剪枝，不是计算每个可能state序列的probability，而是用Viterbi approximation：

从时刻1：t，只记录转移概率最大的state和概率。

记Vt(si)为从时刻t-1的所有状态转移到时刻t时状态为j的最大概率：

记为：从时刻t-1的哪个状态转移到时刻t时状态为j的概率最大；

进行Viterbi approximation过程如下：

然后根据记录的最可能转移状态序列进行回溯：

3）.Training: 给定一个observation序列x，训练出HMM参数λ = {aij, bij}the EM(Forward-Backward) algorithm

这部分我们放到“3.GMM+HMM大法解决语音识别”中和GMM的training一起讲

GMM是神马？怎样用GMM求某一音素（phoneme）的概率？

2.1 简单理解混合高斯模型就是几个高斯的叠加。。。e.g. k=3

fig2. GMM illustration and the probability of x

2.2 GMM for state sequence

每个state有一个GMM，包含k个高斯模型参数。如”hi“（k=3）：

PS：sil表示silence（静音）

fig3. use GMM to estimate the probability of a state sequence given observation {o1, o2, o3}

其中，每个GMM有一些参数，就是我们要train的输出概率参数

fig4. parameters of a GMM

怎么求呢？和KMeans类似，如果已知每个点xn属于某每类 j 的概率p(j|xn)，则可以估计其参数:

，其中

只要已知了这些参数，我们就可以在predict（识别）时在给定input sequence的情况下，计算出一串状态转移的概率。如上图要计算的state sequence 1->2->2概率：

fig5. probability of S1->S2->S3 given o1->o2->o3

GMM+HMM大法解决语音识别

我们获得observation是语音waveform, 以下是一个词识别全过程：

1). 将waveform切成等长frames，对每个frame提取特征（e.g. MFCC）,

2).对每个frame的特征跑GMM，得到每个frame(o_i)属于每个状态的概率b_state(o_i)

fig6. complete process from speech frames to a state sequence

3). 根据每个单词的HMM状态转移概率a计算每个状态sequence生成该frame的概率; 哪个词的HMM 序列跑出来概率最大，就判断这段语音属于该词

宏观图：

fig7. Speech recognition, a big framework

(from Encyclopedia of Information Systems, 2002)

好了，上面说了怎么做识别。那么我们怎样训练这个模型以得到每个GMM的参数和HMM的转移概率什么的呢？

①Training the params of GMM

GMM参数：高斯分布参数：

从上面fig4下面的公式我们已经可以看出来想求参数必须要知道P(j|x),即，x属于第j个高斯的概率。怎么求捏？

fig8. bayesian formula of P( j | x )

根据上图 P（j | x）, 我们需要求P(x|j)和P（j）去估计P(j|x).

这里由于P(x|j)和P（j）都不知道，需要用EM算法迭代估计以最大化P(x) = P(x1)*p(x2)*...*P(xn)：

A. 初始化（可以用kmeans）得到P(j)

B. 迭代

E（estimate）-step: 根据当前参数(means,variances, mixing parameters)估计P(j|x)

M（maximization）-step: 根据当前P(j|x) 计算GMM参数（根据fig4 下面的公式：）

，其中

②Training the params of HMM

前面已经有了GMM的training过程。在这一步，我们的目标是：从observation序列中估计HMM参数λ；

假设状态->observation服从单核高斯概率分布：，则λ由两部分组成：

HMM训练过程：迭代

E（estimate）-step: 给定observation序列，估计时刻t处于状态sj的概率

M（maximization）-step: 根据重新估计HMM参数aij.

其中，

E-step:给定observation序列，估计时刻t处于状态sj的概率

为了估计, 定义: t时刻处于状态sj的话，t时刻未来observation的概率。即

这个可以递归计算：β_t（si）=从状态 si 转移到其他状态 sj 的概率aij*状态 i 下观测到x_{t+1}的概率bi(x_{t+1})*t时刻处于状态sj的话{t+1}后observation概率β_{t+1}（sj）

即：

定义刚才的为state occupation probability，表示给定observation序列，时刻t处于状态sj的概率P(S(t)=sj | X,λ)。根据贝叶斯公式p(A|B,C) = P(A,B|C)/P(B|C)，有：

由于分子p(A,B|C)为

其中，αt（sj）表示HMM在时刻t处于状态j，且observation = {x1,...,xt}的概率；

: t时刻处于状态sj的话，t时刻未来observation的概率；

且

finally, 带入的定义式有：

好，终于搞定！对应上面的E-step目标，只要给定了observation和当前HMM参数 λ，我们就可以估计了对吧 (*__*)

M-step：根据重新估计HMM参数λ：

对于λ中高斯参数部分，和GMM的M-step是一样一样的（只不过这里写成向量形式）：

对于λ中的状态转移概率aij, 定义C(Si->Sj)为从状态Si转到Sj的次数，有

实际计算时，定义每一时刻的转移概率为时刻t从si->sj的概率：

那么就有：

把HMM的EM迭代过程和要求的参数写专业点，就是这样的：

PS：这个训练HMM的算法叫Forward-Backward algorithm。

一个很好的reference：点击打开链接