第三章 矩阵和线性代数

线性代数可以对一组线性方程进行简洁地表示和运算。例如，对于这个方程组:

$$4x_1 - 5x_2= -13$$

$$-2x_1 + 3x_2 = 9$$

这里有两个方程和两个变量，如果你学过高中代数的话，你肯定知道，可以为x1 和x2找到一组唯一的解 (除非方程可以进一步简化，例如，如果第二个方程只是第一个方程的倍数形式。但是显然上面的例子不可简化，是有唯一解的)。在矩阵表达中，我们可以简洁的写作:

$$Ax = b$$

其中：

$$A=begin{bmatrix} 4 & -5 -2 & 3 end{bmatrix}$$ $$b=begin{bmatrix} -13 9 end{bmatrix}$$

很快我们将会看到，咱们把方程表示成这种形式，在分析线性方程方面有很多优势(包括明显地节省空间)。

1.1基本符号

以下是我们要使用符号:

• 符号 _A_∈ R m×n 表示一个m行n列的矩阵，并且矩阵A中的所有元素都是实数。
• 符号 x ∈ Rn表示一个含有n个元素的向量。通常，我们把n维向量看成是一个n行1列矩阵，即列向量。如果我们想表示一个行向量（ 1行_n_列矩阵），我们通常写作_xT _(_xT_表示x的转置，后面会解释它的定义)。
• 一个向量x的第_i_个元素表示为xi：

$$b=begin{bmatrix} x_1 x_2 . . x_n end{bmatrix}$$

• 我们用$$a_{ij}$$_ (或$$A{ij}$$等) 表示第_i_行第_j_列的元素：

$$A = begin{bmatrix} a_{11} a_{12} ... a_{1n} a_{21} a_{22} ... a_{2n} . . a_{m1} a_{n2} ... a_{mn} end{bmatrix}$$

• 我们用$$a_j$$_ _表示A矩阵的第_j_列元素：

$$A = begin{bmatrix} | | | a_1 a_2 a_3 | | | end{bmatrix}$$

• 我们用_aTi或Ai，:_表示矩阵的第i行元素

$$A = begin{bmatrix} -- a_1T -- -- a_2T -- . . -- a_m^T -- end{bmatrix}$$

• 请注意，这些定义都是不严格的（例如，_a1_和_a1T_在前面的定义中是两个不同向量）。通常使用中，符号的含义应该是可以明显看出来的。