非负矩阵分解(non-negative matrix factorization，以下简称NMF)是一种非常常用的矩阵分解方法，它可以适用于很多领域，比如图像特征识别，语音识别等，这里我们会主要关注于它在文本主题模型里的运用。

回顾奇异值分解，它会将一个矩阵分解为三个矩阵：$$A = USigma V^T$$

如果降维到k维，则表达式为：$$A_{m times n} approx U_{m times k}Sigma_{k times k} V^T_{k times n}$$

但是NMF虽然也是矩阵分解，它却使用了不同的思路，它的目标是期望将矩阵分解为两个矩阵:$$A_{m times n} approx W_{m times k}H_{k times n}$$

分解成两个矩阵是不是一定就比SVD省时呢？这里的理论不深究，但是NMF的确比SVD快。FunkSVD所用的算法思路和NMF基本是一致的，只不过FunkSVD聚焦于推荐算法而已。

那么如何可以找到这样的矩阵呢？这就涉及到NMF的优化思路了。

2. NMF的优化思路

NMF期望找到这样的两个矩阵W,H，使WH的矩阵乘积得到的矩阵对应的每个位置的值和原矩阵A对应位置的值相比误差尽可能的小。用数学的语言表示就是：$$arg;min(W,H);;frac{1}{2}sumlimits_{i,j}(A_{ij}-(WH)_{ij})^2$$

如果完全用矩阵表示，则为：$$arg;min(W,H);;frac{1}{2}||A-WH||_{Fro}^2$$

其中，$$||*||_{Fro}$$为Frobenius$范数。

当然对于这个式子，我们也可以加上L1和L2的正则化项如下：

$$arg;min(W,H);;frac{1}{2}||A-WH||{Fro}2 +alpharho|| W||_1+alpharho|| H||1+frac{alpha(1-rho)}{2}|| W||{Fro}2 + frac{alpha(1-rho)}{2}|| H||{Fro}^2$$

其中，$$alpha$$为L1&L2正则化参数，而$$rho$$为L1正则化占总正则化项的比例。$$||*||_1$$为L1范数。

我们要求解的有$$mk + kn$$个参数。参数不少，常用的迭代方法有梯度下降法和拟牛顿法。不过如果我们决定加上了L1正则化的话就不能用梯度下降和拟牛顿法了。此时可以用坐标轴下降法或者最小角回归法来求解。scikit-learn中NMF的库目前是使用坐标轴下降法来求解的，，即在迭代时，一次固定m*k + k*n-1个参数，仅仅最优化一个参数。这里对优化求W,H的过程就不再写了，如果大家对坐标轴下降法不熟悉，参看Lasso回归算法： 坐标轴下降法与最小角回归法小结。

3. NMF 用于文本主题模型

回到我们本文的主题，NMF矩阵分解如何运用到我们的主题模型呢？

此时NMF可以这样解释：我们输入的有m个文本，n个词，而$$A_{ij}$$对应第i个文本的第j个词的特征值，这里最常用的是基于预处理后的标准化TF-IDF值。k是我们假设的主题数，一般要比文本数少。NMF分解后，$$W_{ik}$$对应第i个文本的和第k个主题的概率相关度，而$$H_{kj}$$对应第j个词和第k个主题的概率相关度。

当然也可以反过来去解释：我们输入的有m个词，n个文本，而$$A_{ij}$$对应第i个词的第j个文本的特征值，这里最常用的是基于预处理后的标准化TF-IDF值。k是我们假设的主题数，一般要比文本数少。NMF分解后，$$W_{ik}$$对应第i个词的和第k个主题的概率相关度，而$$H_{kj}$$对应第j个文本和第k个主题的概率相关度。

注意到这里我们使用的是"概率相关度"，这是因为我们使用的是"非负"的矩阵分解，这样我们的W,H矩阵值的大小可以用概率值的角度去看。从而可以得到文本和主题的概率分布关系。第二种解释用一个图来表示如下：

和LSI相比，我们不光得到了文本和主题的关系，还得到了直观的概率解释，同时分解速度也不错。当然NMF由于是两个矩阵，相比LSI的三矩阵，NMF不能解决词和词义的相关度问题。这是一个小小的代价。

4. scikit-learn NMF的使用

在 scikit-learn中，NMF在sklearn.decomposition.NMF包中，它支持L1和L2的正则化，而W,H的求解使用坐标轴下降法来实现。

NMF需要注意的参数有：

1） **n_components：**即我们的主题数k, 选择k值需要一些对于要分析文本主题大概的先验知识。可以多选择几组k的值进行NMF，然后对结果人为的进行一些验证。

2） init : 用于帮我们选择W,H迭代初值的算法， 默认是None,即自动选择值，不使用选择初值的算法。如果我们对收敛速度不满意，才需要关注这个值，从scikit-learn提供的算法中选择一个合适的初值选取算法。

3）**alpha:**即我们第三节中的正则化参数$$alpha$$,需要调参。开始建议选择一个比较小的值，如果发现效果不好在调参增大。

4)l1_ratio：　即我们第三节中的正则化参数$$rho$$,L1正则化的比例，仅在$$alpha$$>0时有效，需要调参。开始建议不使用，即用默认值0, 如果对L2的正则化不满意再加上L1正则化。

从上面可见，使用NMF的关键参数在于主题数的选择n_components和正则化的两个超参数$$alpha,rho$$。

此外，W矩阵一般在调用fit_transform方法的返回值里获得，而H矩阵则保存在NMF类的components_成员中。

下面我们给一个例子，我们有4个词，5个文本组成的矩阵，需要找出这些文本和隐含的两个主题之间的关系。代码如下：

import numpy as np
X = np.array([[1,1,5,2,3], [0,6,2,1,1], [3, 4,0,3,1], [4, 1,5,6,3]])
from sklearn.decomposition import NMF
model = NMF(n_components=2, alpha=0.01)

现在我们看看分解得到的W,H：

W = model.fit_transform(X)
H = model.components_
print W
print H

结果如下：

[[ 1.67371185  0.02013017]
 [ 0.40564826  2.17004352]
 [ 0.77627836  1.5179425 ]
 [ 2.66991709  0.00940262]]
[[ 1.32014421  0.40901559  2.10322743  1.99087019  1.29852389]
 [ 0.25859086  2.59911791  0.00488947  0.37089193  0.14622829]]

从结果可以看出， 第1,3,4,5个文本和第一个隐含主题更相关，而第二个文本与第二个隐含主题更加相关。如果需要下一个结论，我们可以说，第1,3,4,5个文本属于第一个隐含主题，而第二个问题属于第2个隐含主题。

5. NMF的其他应用

虽然我们是在主题模型里介绍的NMF，但实际上NMF的适用领域很广，除了我们上面说的图像处理，语音处理，还包括信号处理与医药工程等，是一个普适的方法。在这些领域使用NMF的关键在于将NMF套入一个合适的模型，使得W,H矩阵都可以有明确的意义。这里给一个图展示NMF在做语音处理时的情形：

6. NMF主题模型小结

NMF作为一个漂亮的矩阵分解方法，它可以很好的用于主题模型，并且使主题的结果有基于概率分布的解释性。但是NMF以及它的变种pLSA虽然可以从概率的角度解释了主题模型，却都只能对训练样本中的文本进行主题识别，而对不在样本中的文本是无法识别其主题的。根本原因在于NMF与pLSA这类主题模型方法没有考虑主题概率分布的先验知识，比如文本中出现体育主题的概率肯定比哲学主题的概率要高，这点来源于我们的先验知识，但是无法告诉NMF主题模型。而LDA主题模型则考虑到了这一问题，目前来说，绝大多数的文本主题模型都是使用LDA以及其变体。下一篇我们就来讨论LDA主题模型。