1.17 反向传播

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小牛编辑

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2023-12-01

1 正向传播(Forward propagation)

回忆一下，给出一个输入特征$x$的时候，我们定义了$a^{[0]}=x$。然后对于层(layer)$l=1,2,3,\dots,N$，其中的$N$是网络中的层数，则有：

$z^{[l]}=W^{[l]}a^{[l-1]}+b^{[l]}$
$a^{[l]}=g^{[l]}(z^{[l]})$

在讲义中都是假设了非线性特征$g^{[l]}$对除了第$N$层以外的所有层都相同。这是因为我们可能要在输出层进行回归(regression) [因此就可能使用$g(x)=x$]，或者进行二值化分类(binary classification) [这时候用$g(x)=sigmoid(x)$]，或者是多类分类(multiclass classification) [这就要用$g(x)=softmax(x)$]。因此要将$g^{[N]}$和$g$相区分开，然后假设$g$使用在除了第$N$层外的其他所有层。

最终，给网络$a^{[N]}$的输出，为了简单记作$\hat y$，就可以衡量损失函数$J(W,b)=\mathcal{L}(a^{[N]},y)=\mathcal{L}(\hat y,y)$。例如，对于实数值的回归可以使用下面的平方损失函数(squared loss)：

$$\mathcal{L}(\hat y,y)=\frac{1}{2} (\hat y-y)^2$$

对使用逻辑回归(logistic regression)的二值化分类(binary classification)，我们可以使用下面的损失函数：

$$\mathcal{L}(\hat y,y) =-[y\log \hat y+(1-y)\log(1-\hat y)]$$

或者也可以使用负对数似然函数(negative log-likelihood)。最后是对于有$k$类的柔性最大回归(softmax regression)，使用交叉熵损失函数(cross entropy loss)：

$$\mathcal{L}(\hat y,y)=-\sum^k_{j=1}1{y=j}\log\hat y_j$$

上面这个其实就是将负对数似然函数简单扩展到多类情景而已。要注意这时候的$\hat y$是一个$k$维度向量。如果使用$y$来表示这个$k$维度向量，其中除了第$l$个位置是$1$，其他地方都是$0$。也就是为真的分类标签(label)就是$l$，这时候也可以将交叉熵损失函数以如下方式表达：

$$\mathcal{L}(\hat y,y)=- \sum^k_{j=1}y_j\log \hat y_j$$

2 反向传播(Backpropagation)

然后咱们再定义更多的记号用于反向传播。$^1$首先定义:

1 这部分的讲义内容基于斯坦福大学的监督学习中关于多层神经网络算法的内容 Scribe: Ziang Xie

$$\delta ^{[l]} =\nabla _{z^{[l]}}\mathcal{L}(\hat y,y)$$

然后可以按照后续内容所示来定义一个计算每个$W^{[l]},b^{[l]}$所对应的梯度的三个步骤：

对于输出层$N$有:
$$\delta ^{[N]} =\nabla _{z^{[N]}}\mathcal{L}(\hat y,y) $$
有时候我们可能要直接计算$\nabla _{z^{[N]}}L(\hat y,y)$（比如$g^{[N]}$是柔性最大函数(softmax function)），而其他时候（比如$g^{[N]}$是S型函数(sigmoid function)$\sigma$）则可以应用链式法则(chain rule)：
$$\nabla {z^{[N]}}L(\hat y,y)= \nabla {\hat y}L(\hat y,y) \circ (g^{[N]})'(z^{[N]}) $$
注意$(g^{[N]})'(z^{[N]})$表示的是关于$z^{[N]}$的按元素的导数(elementwise derivative)。
对$l=N-1,N-1,\dots,1$则有：
$$\delta^{[l]} = ( {W^{[l+1]}}^T \delta^{[l+1]} ) \circ g' ( z^{[l]} ) $$
最终就可以计算第$l$层的梯度(gradies)：
$$\begin{aligned} \nabla{W^{[l]}}J(W,b)&= \delta^{[l]}{a^{[l-1]} }^T \ \nabla{b^{[l]}}J(W,b)&= \delta^{[l]} \ \end{aligned} $$

上文中的小圆圈负号$\circ$表示元素积(elementwise product)。要注意上面的过程是对应单个训练样本的。

你可以将上面的算法用到逻辑回归(logistic regression)里面（$N=1,g^{[1]}$是S型函数(sigmoid function)$\sigma$）来测试步骤$1$和$3$。还记得$\sigma'(z)=\sigma(z)\circ (1-\sigma(z))$以及$\sigma(z^{[1]})$就是$a^{[1]}$。注意对于逻辑回归的情景，如果$x$是一个实数域内$R^{n\times 1}$的列向量(column vector)，然后$W^{[1]}\in R^{1\times n}$,因此则有$\nabla_{W^{[1]}}J(W,b)\in R^{1\times n}$。代码样本如http://cs229.stanford.edu/notes/backprop.py所示。

（译者注：为了方便我直接把上面链接中的代码贴到下面了。）

#http://cs229.stanford.edu/notes/backprop.py
import numpy as np
from copy import copy

# Example backpropagation code for binary classification with 2-layer
# neural network (single hidden layer)

sigmoid = lambda x: 1 / (1 + np.exp(-x))

def fprop(x, y, params):
  # Follows procedure given in notes
  W1, b1, W2, b2 = [params[key] for key in ('W1', 'b1', 'W2', 'b2')]
  z1 = np.dot(W1, x) + b1
  a1 = sigmoid(z1)
  z2 = np.dot(W2, a1) + b2
  a2 = sigmoid(z2)
  loss = -(y * np.log(a2) + (1-y) * np.log(1-a2))
  ret = {'x': x, 'y': y, 'z1': z1, 'a1': a1, 'z2': z2, 'a2': a2, 'loss': loss}
  for key in params:
    ret[key] = params[key]
  return ret

def bprop(fprop_cache):
  # Follows procedure given in notes
  x, y, z1, a1, z2, a2, loss = [fprop_cache[key] for key in ('x', 'y', 'z1', 'a1', 'z2', 'a2', 'loss')]
  dz2 = (a2 - y)
  dW2 = np.dot(dz2, a1.T)
  db2 = dz2
  dz1 = np.dot(fprop_cache['W2'].T, dz2) * sigmoid(z1) * (1-sigmoid(z1))
  dW1 = np.dot(dz1, x.T)
  db1 = dz1
  return {'b1': db1, 'W1': dW1, 'b2': db2, 'W2': dW2}

# Gradient checking

if __name__ == '__main__':
  # Initialize random parameters and inputs
  W1 = np.random.rand(2,2)
  b1 = np.random.rand(2, 1)
  W2 = np.random.rand(1, 2)
  b2 = np.random.rand(1, 1)
  params = {'W1': W1, 'b1': b1, 'W2': W2, 'b2': b2}
  x = np.random.rand(2, 1)
  y = np.random.randint(0, 2)  # Returns 0/1

  fprop_cache = fprop(x, y, params)
  bprop_cache = bprop(fprop_cache)

  # Numerical gradient checking
  # Note how slow this is! Thus we want to use the backpropagation algorithm instead.
  eps = 1e-6
  ng_cache = {}
  # For every single parameter (W, b)
  for key in params:
    param = params[key]
    # This will be our numerical gradient
    ng = np.zeros(param.shape)
    for j in range(ng.shape[0]):
      for k in xrange(ng.shape[1]):
        # For every element of parameter matrix, compute gradient of loss wrt
        # that element numerically using finite differences
        add_eps = np.copy(param)
        min_eps = np.copy(param)
        add_eps[j, k] += eps
        min_eps[j, k] -= eps
        add_params = copy(params)
        min_params = copy(params)
        add_params[key] = add_eps
        min_params[key] = min_eps
        ng[j, k] = (fprop(x, y, add_params)['loss'] - fprop(x, y, min_params)['loss']) / (2 * eps)
    ng_cache[key] = ng

  # Compare numerical gradients to those computed using backpropagation algorithm
  for key in params:
    print key
    # These should be the same
    print(bprop_cache[key])
    print(ng_cache[key])