binary-tree/bst/unique-binary-search-trees
Unique Binary Search Trees
描述
Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?
For example, Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.
1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3
分析
如果把上例的顺序改一下，就可以看出规律了。
1 1 2 3 3
\ \ / \ / /
3 2 1 3 2 1
/ \ / \
2 3 1 2
比如，以 1 为根的树的个数，等于左子树的个数乘以右子树的个数，左子树是 0 个元素的树，右子树是 2 个元素的树。以 2 为根的树的个数，等于左子树的个数乘以右子树的个数，左子树是 1 个元素的树，右子树也是 1 个元素的树。依此类推。
当数组为 1,2,3,...,n时，基于以下原则的构建的 BST 树具有唯一性： \textbf{以 i 为根节点的树，其左子树由[1, i-1]构成， 其右子树由[i+1, n]构成。}
定义f(i)为以[1,i]能产生的 Unique Binary Search Tree 的数目，则
如果数组为空，毫无疑问，只有一种 BST，即空树，f(0)=1。
如果数组仅有一个元素{1}，只有一种 BST，单个节点，f(1)=1。
如果数组有两个元素{1,2}， 那么有如下两种可能
1 2
\ /
2 1
$$f(2) = f(0) * f(1) \text{ , when 1 as root}$$
$$+ f(1) * f(0) \text{ , when 2 as root}$$
再看一看 3 个元素的数组，可以发现 BST 的取值方式如下：
$$f(3) = f(0) * f(2) \text{ , when 1 as root}$$
$$+ f(1) * f(1) \text{ , when 2 as root}$$
$$+ f(2) * f(0) \text{ , when 3 as root}$$
所以，由此观察，可以得出f的递推公式为
$$f(i) = \sum_{k=1}^{i} f(k-1) \times f(i-k)$$
至此，问题划归为一维动态规划。
代码
// Unique Binary Search Trees
// 时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n)
public class Solution {
public int numTrees(int n) {
int[] f = new int[n + 1];
f[0] = 1;
f[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
for (int k = 1; k <= i; ++k)
f[i] += f[k-1] * f[i - k];
}
return f[n];
}
}
// Unique Binary Search Trees
// 时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n)
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector<int> f(n + 1, 0);
f[0] = 1;
f[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
for (int k = 1; k <= i; ++k)
f[i] += f[k-1] * f[i - k];
}
return f[n];
}
};