二分搜索树节点删除

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2023-03-14

本小节介绍二分搜索树节点的删除之前，先介绍如何查找最小值和最大值，以及删除最小值和最大值。

以最小值为例（最大值同理）：

查找最小 key 值代码逻辑，往左子节点递归查找下去：

...
// 返回以node为根的二分搜索树的最小键值所在的节点
private Node minimum (Node node ) {
if ( node. left == null )
return node ;

return minimum (node. left ) ;
}
...

删除二分搜索树的最小 key 值，如果该节点没有右子树，那么直接删除，如果存在右子树，如图所示：

删除节点 22，存在右孩子，只需要将右子树 33 节点代替节点 22。

这个删除最小值用代码表示:

...
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin (Node node ) {

if ( node. left == null ) {

Node rightNode = node. right ;
node. right = null ;
count --;
return rightNode ;
}

node. left = removeMin (node. left ) ;
return node ;
}
...

现在讨论二分搜索树节点删除分以下三种情况：

1、删除只有左孩子的节点，如下图节点 58。

删除掉元素 58，让左子树直接代替 58 的位置，整个二分搜索树的性质不变。

2、删除只有右孩子的节点，如下图节点 58。

删除掉元素 58，让右子树直接代替 58 的位置，整个二分搜索树的性质不变。

3、删除左右都有孩子的节点，如下图节点 58。

（1）找到右子树中的最小值，为节点 59

（2）节点 59 代替待删除节点 58

综合以上规律，删除以 node 为根的二分搜索树中键值为 key 的节点，核心代码示例：

src/binary/BSTRemove.java 文件代码：

package binary ;

import java.util.LinkedList ;

/**
* 二分搜索树节点删除
*/
public class BSTRemove < Key extends Comparable <Key >, Value > {
// 树中的节点为私有的类, 外界不需要了解二分搜索树节点的具体实现
private class Node {
private Key key ;
private Value value ;
private Node left, right ;

public Node ( Key key, Value value ) {
this. key = key ;
this. value = value ;
left = right = null ;
}

public Node (Node node ) {
this. key = node. key ;
this. value = node. value ;
this. left = node. left ;
this. right = node. right ;
}
}

private Node root ; // 根节点
private int count ; // 树种的节点个数

// 构造函数, 默认构造一棵空二分搜索树
public BSTRemove ( ) {
root = null ;
count = 0 ;
}

// 返回二分搜索树的节点个数
public int size ( ) {
return count ;
}

// 返回二分搜索树是否为空
public boolean isEmpty ( ) {
return count == 0 ;
}

// 向二分搜索树中插入一个新的(key, value)数据对
public void insert ( Key key, Value value ) {
root = insert (root, key, value ) ;
}

// 查看二分搜索树中是否存在键key
public boolean contain ( Key key ) {
return contain (root, key ) ;
}

// 在二分搜索树中搜索键key所对应的值。如果这个值不存在, 则返回null
public Value search ( Key key ) {
return search ( root , key ) ;
}

// 二分搜索树的前序遍历
public void preOrder ( ) {
preOrder (root ) ;
}

// 二分搜索树的中序遍历
public void inOrder ( ) {
inOrder (root ) ;
}

// 二分搜索树的后序遍历
public void postOrder ( ) {
postOrder (root ) ;
}

// 二分搜索树的层序遍历
public void levelOrder ( ) {

// 我们使用LinkedList来作为我们的队列
LinkedList <Node > q = new LinkedList <Node > ( ) ;
q. add (root ) ;
while ( !q. isEmpty ( ) ) {

Node node = q. remove ( ) ;

System. out. println (node. key ) ;

if ( node. left != null )
q. add ( node. left ) ;
if ( node. right != null )
q. add ( node. right ) ;
}
}

// 寻找二分搜索树的最小的键值
public Key minimum ( ) {
assert count != 0 ;
Node minNode = minimum ( root ) ;
return minNode. key ;
}

// 寻找二分搜索树的最大的键值
public Key maximum ( ) {
assert count != 0 ;
Node maxNode = maximum (root ) ;
return maxNode. key ;
}

// 从二分搜索树中删除最小值所在节点
public void removeMin ( ) {
if ( root != null )
root = removeMin ( root ) ;
}

// 从二分搜索树中删除最大值所在节点
public void removeMax ( ) {
if ( root != null )
root = removeMax ( root ) ;
}

// 从二分搜索树中删除键值为key的节点
public void remove ( Key key ) {
root = remove (root, key ) ;
}

//********************
//* 二分搜索树的辅助函数
//********************

// 向以node为根的二分搜索树中, 插入节点(key, value), 使用递归算法
// 返回插入新节点后的二分搜索树的根
private Node insert (Node node, Key key, Value value ) {

if ( node == null ) {
count ++;
return new Node (key, value ) ;
}

if ( key. compareTo (node. key ) == 0 )
node. value = value ;
else if ( key. compareTo (node. key ) < 0 )
node. left = insert ( node. left , key, value ) ;
else // key > node->key
node. right = insert ( node. right, key, value ) ;

return node ;
}

// 查看以node为根的二分搜索树中是否包含键值为key的节点, 使用递归算法
private boolean contain (Node node, Key key ) {

if ( node == null )
return false ;

if ( key. compareTo (node. key ) == 0 )
return true ;
else if ( key. compareTo (node. key ) < 0 )
return contain ( node. left , key ) ;
else // key > node->key
return contain ( node. right , key ) ;
}

// 在以node为根的二分搜索树中查找key所对应的value, 递归算法
// 若value不存在, 则返回NULL
private Value search (Node node, Key key ) {

if ( node == null )
return null ;

if ( key. compareTo (node. key ) == 0 )
return node. value ;
else if ( key. compareTo (node. key ) < 0 )
return search ( node. left , key ) ;
else // key > node->key
return search ( node. right, key ) ;
}

// 对以node为根的二叉搜索树进行前序遍历, 递归算法
private void preOrder (Node node ) {

if ( node != null ) {
System. out. println (node. key ) ;
preOrder (node. left ) ;
preOrder (node. right ) ;
}
}

// 对以node为根的二叉搜索树进行中序遍历, 递归算法
private void inOrder (Node node ) {

if ( node != null ) {
inOrder (node. left ) ;
System. out. println (node. key ) ;
inOrder (node. right ) ;
}
}

// 对以node为根的二叉搜索树进行后序遍历, 递归算法
private void postOrder (Node node ) {

if ( node != null ) {
postOrder (node. left ) ;
postOrder (node. right ) ;
System. out. println (node. key ) ;
}
}

// 返回以node为根的二分搜索树的最小键值所在的节点
private Node minimum (Node node ) {
if ( node. left == null )
return node ;

return minimum (node. left ) ;
}

// 返回以node为根的二分搜索树的最大键值所在的节点
private Node maximum (Node node ) {
if ( node. right == null )
return node ;

return maximum (node. right ) ;
}

// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin (Node node ) {

if ( node. left == null ) {

Node rightNode = node. right ;
node. right = null ;
count --;
return rightNode ;
}

node. left = removeMin (node. left ) ;
return node ;
}

// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMax (Node node ) {

if ( node. right == null ) {

Node leftNode = node. left ;
node. left = null ;
count --;
return leftNode ;
}

node. right = removeMax (node. right ) ;
return node ;
}

// 删除掉以node为根的二分搜索树中键值为key的节点, 递归算法
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
Node remove (Node node, Key key ) {

if ( node == null )
return null ;

if ( key. compareTo (node. key ) < 0 ) {
node. left = remove ( node. left , key ) ;
return node ;
}
else if ( key. compareTo (node. key ) > 0 ) {
node. right = remove ( node. right, key ) ;
return node ;
}
else { // key == node->key

// 待删除节点左子树为空的情况
if ( node. left == null ) {
Node rightNode = node. right ;
node. right = null ;
count --;
return rightNode ;
}

// 待删除节点右子树为空的情况
if ( node. right == null ) {
Node leftNode = node. left ;
node. left = null ;
count --;
return leftNode ;
}

// 待删除节点左右子树均不为空的情况

// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = new Node (minimum (node. right ) ) ;
count ++;

successor. right = removeMin (node. right ) ;
successor. left = node. left ;

node. left = node. right = null ;
count --;

return successor ;
}
}
}