并查集路径压缩

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2023-03-14

并查集里的 find 函数里可以进行路径压缩，是为了更快速的查找一个点的根节点。对于一个集合树来说，它的根节点下面可以依附着许多的节点，因此，我们可以尝试在 find 的过程中，从底向上，如果此时访问的节点不是根节点的话，那么我们可以把这个节点尽量的往上挪一挪，减少数的层数，这个过程就叫做路径压缩。

如下图中，find(4) 的过程就可以路径压缩，让数的层数更少。

节点 4 往上寻找根节点时，压缩第一步，树的层数就减少了一层：

节点 2 向上寻找，也不是根节点，那么把元素 2 指向原来父节点的父节点，操后后树的层数相应减少了一层，同时返回根节点 0。

find 过程代码修改为：

// 查找过程, 查找元素p所对应的集合编号
// O(h)复杂度, h为树的高度
private int find ( int p ) {
assert ( p >= 0 && p < count ) ;

// path compression 1
while ( p != parent [p ] ) {
parent [p ] = parent [parent [p ] ] ;
p = parent [p ] ;
}
return p ;

}

上述路径压缩并不是最优的方式，我们可以把最初的树压缩成下图所示，层数是最少的。

这个 find 过程代表表示为:

...
// 查找过程, 查找元素p所对应的集合编号
// O(h)复杂度, h为树的高度
private int find ( int p ) {
assert (p >= 0 && p < count ) ;

//第二种路径压缩算法
if (p != parent [p ] )
parent [p ] = find (parent [p ] ) ;
return parent [p ] ;
}
...

Java 实例代码

UnionFind3.java 文件代码：

package union ;

/**
* 基于rank的优化
*/
public class UnionFind4 {

private int [ ] rank ; // rank[i]表示以i为根的集合所表示的树的层数
private int [ ] parent ; // parent[i]表示第i个元素所指向的父节点
private int count ; // 数据个数

// 构造函数
public UnionFind4 ( int count ) {
rank = new int [count ] ;
parent = new int [count ] ;
this. count = count ;
// 初始化, 每一个parent[i]指向自己, 表示每一个元素自己自成一个集合
for ( int i = 0 ; i < count ; i ++ ) {
parent [i ] = i ;
rank [i ] = 1 ;
}
}

// 查找过程, 查找元素p所对应的集合编号
// O(h)复杂度, h为树的高度
private int find ( int p ) {
assert ( p >= 0 && p < count ) ;
// 不断去查询自己的父亲节点, 直到到达根节点
// 根节点的特点: parent[p] == p
while ( p != parent [p ] )
p = parent [p ] ;
return p ;

//第二种路径压缩算法
//if( p != parent[p] )
//parent[p] = find( parent[p] );
//return parent[p];
}

// 查看元素p和元素q是否所属一个集合
// O(h)复杂度, h为树的高度
public boolean isConnected ( int p , int q ) {
return find (p ) == find (q ) ;
}

// 合并元素p和元素q所属的集合
// O(h)复杂度, h为树的高度
public void unionElements ( int p, int q ) {

int pRoot = find (p ) ;
int qRoot = find (q ) ;

if ( pRoot == qRoot )
return ;

if ( rank [pRoot ] < rank [qRoot ] ) {
parent [pRoot ] = qRoot ;
}
else if ( rank [qRoot ] < rank [pRoot ] ) {
parent [qRoot ] = pRoot ;
}
else { // rank[pRoot] == rank[qRoot]
parent [pRoot ] = qRoot ;
rank [qRoot ] += 1 ; // 维护rank的值
}
}
}