12.6 Factorial Trailing Zeroes
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2023-12-01
Question
- leetcode: Factorial Trailing Zeroes | LeetCode OJ
- lintcode: (2) Trailing Zeros
Write an algorithm which computes the number of trailing zeros in n factorial.
Example
11! = 39916800, so the out should be 2
Challenge
O(log N) time
题解1 - Iterative
找阶乘数中末尾的连零数量，容易想到的是找相乘能为10的整数倍的数，如 $$2 \times 5$$, $$1 \times 10$$ 等，遥想当初做阿里笔试题时遇到过类似的题，当时想着算算5和10的个数就好了，可万万没想到啊，25可以变为两个5相乘！真是蠢死了... 根据数论里面的知识，任何正整数都可以表示为它的质因数的乘积wikipedia。所以比较准确的思路应该是计算质因数5和2的个数，取小的即可。质因数2的个数显然要大于5的个数，故只需要计算给定阶乘数中质因数中5的个数即可。原题的问题即转化为求阶乘数中质因数5的个数，首先可以试着分析下100以内的数，再试试100以上的数，聪明的你一定想到了可以使用求余求模等方法 :)
Python
class Solution:
# @param {integer} n
# @return {integer}
def trailingZeroes(self, n):
if n < 0:
return -1
count = 0
while n > 0:
n /= 5
count += n
return count
C++
class Solution {
public:
int trailingZeroes(int n) {
if (n < 0) {
return -1;
}
int count = 0;
for (; n > 0; n /= 5) {
count += (n / 5);
}
return count;
}
};
Java
public class Solution {
public int trailingZeroes(int n) {
if (n < 0) {
return -1;
}
int count = 0;
for (; n > 0; n /= 5) {
count += (n / 5);
}
return count;
}
}
源码分析
- 异常处理，小于0的数返回-1.
- 先计算5的正整数幂都有哪些，不断使用 n / 5 即可知质因数5的个数。
- 在循环时使用
n /= 5而不是i *= 5, 可有效防止溢出。
Warning lintcode 和 leetcode 上的方法名不一样，在两个 OJ 上分别提交的时候稍微注意下。
复杂度分析
关键在于n /= 5执行的次数，时间复杂度 $$\log_5 n$$，使用了count作为返回值，空间复杂度 $$O(1)$$.
题解2 - Recursive
可以使用迭代处理的程序往往用递归，而且往往更为优雅。递归的终止条件为n <= 0.
Python
class Solution:
# @param {integer} n
# @return {integer}
def trailingZeroes(self, n):
if n == 0:
return 0
elif n < 0:
return -1
else:
return n / 5 + self.trailingZeroes(n / 5)
C++
class Solution {
public:
int trailingZeroes(int n) {
if (n == 0) {
return 0;
} else if (n < 0) {
return -1;
} else {
return n / 5 + trailingZeroes(n / 5);
}
}
};
Java
public class Solution {
public int trailingZeroes(int n) {
if (n == 0) {
return 0;
} else if (n < 0) {
return -1;
} else {
return n / 5 + trailingZeroes(n / 5);
}
}
}
源码分析
这里将负数输入视为异常，返回-1而不是0. 注意使用递归时务必注意收敛和终止条件的返回值。这里递归层数最多不超过 $$\log_5 n$$, 因此效率还是比较高的。
复杂度分析
递归层数最大为 $$\log_5 n$$, 返回值均在栈上，可以认为没有使用辅助的堆空间。