4.7. 成对的矩阵, 类别和核函数

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2023-12-01

校验者: @FontTian @numpy 翻译者: @程威

The sklearn.metrics.pairwise 子模块实现了用于评估成对距离或样本集合之间的联系的实用程序。

本模块同时包含距离度量和核函数，对于这两者这里提供一个简短的总结。

距离度量是形如 d(a, b) 例如 d(a, b) < d(a, c) 如果对象 a 和 b 被认为 “更加相似” 相比于 a 和 c. 两个完全相同的目标的距离是零。最广泛使用的例子就是欧几里得距离。为了保证是 ‘真实的’ 度量, 其必须满足以下条件:

对于所有的 a 和 b，d(a, b) >= 0
正定性：当且仅当 a = b时，d(a, b) == 0
对称性：d(a, b) == d(b, a)
三角不等式：d(a, c) <= d(a, b) + d(b, c)

核函数是相似度的标准. 如果对象 a 和 b 被认为 “更加相似” 相比对象 a 和 c，那么 s(a, b) > s(a, c). 核函数必须是半正定性的.

存在许多种方法将距离度量转换为相似度标准，例如核函数。假定 D 是距离, and S 是核函数:

S = np.exp(-D * gamma), 其中 gamma 的一种选择是 1 / num_features
S = 1. / (D / np.max(D))

4.7.1. 余弦相似度

cosine_similarity 计算L2正则化的向量的点积. 也就是说, if 和都是行向量,, 它们的余弦相似度定义为:

$k(x, y) = \frac{x y^\top}{\|x\| \|y\|}$

这被称为余弦相似度, 因为欧几里得(L2) 正则化将向量投影到单元球面内，那么它们的点积就是被向量表示的点之间的角度。

这种核函数对于计算以tf-idf向量表示的文档之间的相似度是一个通常的选择. cosine_similarity 接受 scipy.sparse 矩阵. (注意到 sklearn.feature_extraction.text 中的tf-idf函数能计算归一化的向量，在这种情况下 cosine_similarity 等同于 linear_kernel, 只是慢一点而已.)

References:

C.D. Manning, P. Raghavan and H. Schütze (2008). Introduction to Information Retrieval. Cambridge University Press. http://nlp.stanford.edu/IR-book/html/htmledition/the-vector-space-model-for-scoring-1.html

4.7.2. 线性核函数

函数 linear_kernel 是计算线性核函数, 也就是一种在 degree=1 和 coef0=0 (同质化) 情况下的 polynomial_kernel 的特殊形式. 如果 x 和 y 是列向量, 它们的线性核函数是:

$k(x, y) = x^\top y$

4.7.3. 多项式核函数

函数  计算两个向量的d次方的多项式核函数. 多项式核函数代表着两个向量之间的相似度.

概念上来说，多项式核函数不仅考虑相同维度还考虑跨维度的向量的相似度。当被用在机器学习中的时候，这可以原来代表着特征之间的相互作用。

多项式函数定义为:

$k(x, y) = (\gamma x\top y +c_0)d$

其中:

x, y 是输入向量
d 核函数维度

如果 c_0 = 0 那么核函数就被定义为同质化的.

4.7.4. Sigmoid 核函数

函数 sigmoid_kernel 计算两个向量之间的S型核函数. S型核函数也被称为双曲切线或者多层感知机(因为在神经网络领域，它经常被当做激活函数). S型核函数定义为:

$k(x, y) = \tanh( \gamma x^\top y + c_0)$

where:

x, y 是输入向量
$\gamma$ 是斜度
是截距

4.7.5. RBF 核函数

函数 rbf_kernel 计算计算两个向量之间的径向基函数核 (RBF) 。其定义为:

$k(x, y) = \exp( -\gamma \| x-y \|^2)$

其中 x 和 y 是输入向量. 如果 $\gamma = \sigma^{-2}$ 核函数就变成方差为 $\sigma^2$ 的高斯核函数.

4.7.6. 拉普拉斯核函数

函数 laplacian_kernel 是一种径向基函数核的变体，定义为:

$k(x, y) = \exp( -\gamma \| x-y \|_1)$

其中 x 和 y 是输入向量并且 $\|x-y\|_1$ 是输入向量之间的曼哈顿距离.

已被证明在机器学习中运用到无噪声数据中是有用的. 可见例如 Machine learning for quantum mechanics in a nutshell.

4.7.7. 卡方核函数

在计算机视觉应用中训练非线性支持向量机时，卡方核函数是一种非常流行的选择.

它能以 chi2_kernel 计算然后将参数 ](#id7)kernel=”precomputed”[传递到

sklearn.svm.SVC :

>>> from sklearn.svm import SVC
>>> from sklearn.metrics.pairwise import chi2_kernel
>>> X = [[0, 1], [1, 0], [.2, .8], [.7, .3]]
>>> y = [0, 1, 0, 1]
>>> K = chi2_kernel(X, gamma=.5)
>>> K                        
array([[ 1\.        ,  0.36...,  0.89...,  0.58...],
 [ 0.36...,  1\.        ,  0.51...,  0.83...],
 [ 0.89...,  0.51...,  1\.        ,  0.77... ],
 [ 0.58...,  0.83...,  0.77... ,  1\.        ]])

>>> svm = SVC(kernel='precomputed').fit(K, y)
>>> svm.predict(K)
array([0, 1, 0, 1])

也可以直接使用 kernel 变量:

>>> svm = SVC(kernel=chi2_kernel).fit(X, y)
>>> svm.predict(X)
array([0, 1, 0, 1])

卡方核函数定义为

$k(x, y) = \exp \left (-\gamma \sum_i \frac{(xi - yi) ^ 2}{xi + yi} \right )$

数据假定为非负的，并且已经以L1正则化。归一化随着与卡方平方距离的连接而被合理化，其是离散概率分布之间的距离。

卡方核函数最常用于可视化词汇的矩形图。

参考:

Zhang, J. and Marszalek, M. and Lazebnik, S. and Schmid, C. Local features and kernels for classification of texture and object categories: A comprehensive study International Journal of Computer Vision 2007 http://research.microsoft.com/en-us/um/people/manik/projects/trade-off/papers/ZhangIJCV06.pdf