4.6. 内核近似

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2023-12-01

校验者: @FontTian @numpy 翻译者: @程威

这个子模块包含与某些 kernel 对应的特征映射的函数，这个会用于例如支持向量机的算法当中(see 支持向量机)。下面这些特征函数对输入执行非线性转换，可以用于线性分类或者其他算法。

与 kernel trick 相比，近似的进行特征映射更适合在线学习，并能够有效减少学习大量数据的内存开销。使用标准核技巧的 svm 不能有效的适用到海量数据，但是使用近似内核映射的方法，对于线性 SVM 来说效果可能更好。而且，使用 SGDClassifier 进行近似的内核映射，使得对海量数据进行非线性学习也成为了可能。

由于近似嵌入的方法没有太多经验性的验证，所以建议将结果和使用精确的内核方法的结果进行比较。

4.6.1. 内核近似的 Nystroem 方法

Nystroem 中实现了 Nystroem 方法用于低等级的近似核。它是通过采样 kernel 已经评估好的数据。默认情况下， Nystroem 使用 rbf kernel，但它可以使用任何内核函数和预计算内核矩阵. 使用的样本数量 - 计算的特征维数 - 由参数 n_components 给出.

4.6.2. 径向基函数内核

RBFSampler 为径向基函数核构造一个近似映射，又称为 Random Kitchen Sinks [RR2007]. 在应用线性算法（例如线性 SVM ）之前，可以使用此转换来明确建模内核映射:

>>> from sklearn.kernel_approximation import RBFSampler
>>> from sklearn.linear_model import SGDClassifier
>>> X = [[0, 0], [1, 1], [1, 0], [0, 1]]
>>> y = [0, 0, 1, 1]
>>> rbf_feature = RBFSampler(gamma=1, random_state=1)
>>> X_features = rbf_feature.fit_transform(X)
>>> clf = SGDClassifier()   
>>> clf.fit(X_features, y)
SGDClassifier(alpha=0.0001, average=False, class_weight=None, epsilon=0.1,
 eta0=0.0, fit_intercept=True, l1_ratio=0.15,
 learning_rate='optimal', loss='hinge', max_iter=5, n_iter=None,
 n_jobs=1, penalty='l2', power_t=0.5, random_state=None,
 shuffle=True, tol=None, verbose=0, warm_start=False)
>>> clf.score(X_features, y)
1.0

这个映射依赖于内核值的 Monte Carlo 近似. fit 方法执行 Monte Carlo 采样，而该 transform 方法执行数据的映射.由于过程的固有随机性，结果可能会在不同的 fit 函数调用之间变化。

该 fit 函数有两个参数: n_components 是特征变换的目标维数. gamma 是 RBF-kernel 的参数. n_components 越高，会导致更好的内核近似，并且将产生与内核 SVM 产生的结果更相似的结果。请注意，”拟合” 特征函数实际上不取决于 fit 函数传递的数据。只有数据的维数被使用。详情可以参考 RR2007(#rr2007).

对于给定的值 n_components RBFSampler 在 Nystroem 中使用通常不太准确，但是 RBFSampler 使用更大的特征空间，更容易计算。

将精确的 RBF kernel (左) 与 approximation (右) 进行比较。

示例:

Explicit feature map approximation for RBF kernels

4.6.3. 加性卡方核

Additive Chi Squared Kernel (加性卡方核)是直方图的核心，通常用于计算机视觉。

这里使用的 Additive Chi Squared Kernel 给出

$k(x, y) = \sum_i \frac{2x_iy_i}{x_i+y_i}$

这个和 sklearn.metrics.additive_chi2_kernel 不完全一样.[VZ2010]_ 的作者喜欢上面的版本，因为它总是积极的。由于这个 kernel 是可添加的，因此可以分别处理嵌入的 x_i . 这使得在规则的间隔类对傅里叶变换进行性才赢，代替近似的 Monte Carlo 采样。

AdditiveChi2Sampler 类实现了这个组件采样方法. 每个组件都被采样次，每一个输入维数都会产生 <cite>2n+1</cite> 维（来自傅立叶变换的实部和复数部分的两个数据段的倍数）. 在文献中，经常取为 1 或者 2，将数据集转换为 n_samples * 5 * n_features 大小（在的情况下）.

AdditiveChi2Sampler 提供的近似特征映射可以和 RBFSampler 提供的近似特征映射合并，得到一个取幂的 chi squared kerne。可以查看 VZ2010(#vz2010) 和 VVZ2010(#vvz2010) RBFSampler 的合并.

4.6.4. Skewed Chi Squared Kernel (偏斜卡方核?暂译)

skewed chi squared kernel 给出下面公式

$k(x,y) = \prod_i \frac{2\sqrt{x_i+c}\sqrt{y_i+c}}{x_i + y_i + 2c}$

它有和指数卡方核相似的属性，用于计算机视觉.但是允许进行简单的蒙特卡洛近似的特征映射。

SkewedChi2Sampler 的使用和之前描述的 RBFSampler 一样.唯一的区别是自由参数，称之为 . 这种映射和数学细节可以参考 LS2010(#ls2010).

4.6.5. 数学方面的细节

核技巧像支持向量机，或者核化 PCA 依赖于再生核希尔伯特空间（RKHS）对于任何核函数（叫做 Mercer kernel），保证了 $\phi$ 进入希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 的映射，例如：

$k(x,y) = \langle \phi(x), \phi(y) \rangle$

$\langle \cdot, \cdot \rangle$ 是在 Hilbert space 中做内积.

如果一个算法，例如线性支持向量机或者 PCA，依赖于数据集的数量级 x_i ，可能会使用 k(x_i, x_j) ，符合孙发的映射 $\phi(x_i)$ . 使用的优点在于 $\phi$ 永远不会直接计算，允许大量的特征计算（甚至是无限的）.

kernel 方法的一个缺点是，在优化过程中有可能存储大量的 kernel 值 k(x_i, x_j) . 如果使用核函数的分类器应用于新的数据 y_j ， k(x_i, y_j) 需要计算用来做预测，训练集中的 x_i 有可能有很多不同的。

这个子模块的这些类中允许嵌入 $\phi$ ，从而明确的与 $\phi(x_i)$ 一起工作，这消除了使用 kernel 的需要和存储训练样本.

参考:

| RR2007(#id3) | “Random features for large-scale kernel machines” Rahimi, A. and Recht, B. - Advances in neural information processing 2007, |

| LS2010(#id7) | “Random Fourier approximations for skewed multiplicative histogram kernels” Random Fourier approximations for skewed multiplicative histogram kernels - Lecture Notes for Computer Sciencd (DAGM) |

| VZ2010(#id5) | “Efficient additive kernels via explicit feature maps” Vedaldi, A. and Zisserman, A. - Computer Vision and Pattern Recognition 2010 |

| VVZ2010(#id6) | “Generalized RBF feature maps for Efficient Detection” Vempati, S. and Vedaldi, A. and Zisserman, A. and Jawahar, CV - 2010 |