线性代数01 线性的大脑

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小牛编辑

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2023-12-01

线性代数是一门大学课程，但也是相当“惨烈”的一门课程。在大学期间，我对这门学科就没怎么学懂。先是挣扎于各种行列式、解方程，然后又看到奇怪的正交矩阵、酉矩阵。还没来得及消化，期末考试轰然到来，成绩自然凄凄惨惨。

后来读了更多的线性代数的内容，才发现，线性代数远不是一套奇奇怪怪的规定。它的内在逻辑很明确。只可惜大学时的教材，把最重要的一些核心概念，比如线性系统，放在了最后。总结这些惨痛的经历，再加上最近的心得，我准备写一些线性代数的相关文章。

这一系列线性代数文章有三个目的：

概念直观化
为“数据科学”系列文章做准备，没有线性代数基础，没法深入统计和机器学习。
线性代数运算的代码实现。这是经典的程序员挑战。参看一天能学会的计算机技术

线性代数是现代数学、自然科学的基础工具。在计算机领域，数据挖掘、机器学习、图形处理，数值运算这几块儿都与线性代数紧密相关。如果你对这些技术感兴趣，这些线性代数的文章可以作为你的参考读物。

这一篇，我将引入线型代数的核心：线性系统。让人惊奇的是，这一核心概念，早就根植在我们的思维中。

生活中的线性：超市结算

我们想象一个只卖两个商品的超市，销售青菜、黄豆。青菜每捆5元，黄豆每盒3元。此外，这个超市还有个积分系统，每捆青菜积分2分，每包黄豆积4分。需要一个结算系统，为客户计算总价和积分。

这对程序员来说不算挑战。每个语言都可以轻松的实现，比如用Python:

# By Vamei

def bill(x1, x2):
    y1 = 5*x1 + 3*x2
    y2 = 2*x1 + 4*x2
    return y1, y2

x1，x2分别为青菜和黄豆的数目。y1，y2为总价和积分。通过输入不同品种的购买数目，我们得到输出。这里的输出有两个元素：总价和积分。

上面的计算，还可以写成一组简单的数学方程：

$$y_1 = 5 \times x_1 + 3 \times x_2 $$

$$y_2 = 2 \times x_1 + 4 \times x_2 $$

我们试想这样一种情况：一对夫妻去超市买菜。丈夫买了1捆青菜，2盒黄豆，结账的时候，为11元和10个积分。妻子买了2捆绑青菜，3盒黄豆，结账的时候，为19元和16积分。

但如果妻子结账前碰到丈夫了，俩人把东西放在一起，总共3捆青菜，5盒黄豆。按照我们的结算系统，总价为[$5 \times 3 + 3 \times 5 = 30 $]元，总积分为[$2 \times 3 + 4 \times 5 = 26$]积分。

你可能会反驳我，为什么要那么麻烦呢？把刚才的两个单子加在一起不就可以了。[$11 + 19 = 30$]元，[$10 + 16 = 26$]积分。这通过结算系统的计算结果完全相同。

这想法没错。你已经在运用线性系统(Linear System)的思维了：

几个购物车里的东西，分开结账的几张小票的总和，和一次算总帐的结果相同。

线性系统还有更复杂的情况。把两个购物车给销售员，让销售员按相同的配比，丈夫的来3车，妻子的来2车。那么，新的总价，应该是丈夫的小票乘3，加上妻子的小票乘2。

线性的思维方式是如此的普遍，以致于我们要多想一下，才能想出非线性的例子。下面是一个非线性的情况：超市更改积分系统，积分超过20的话，将获得双倍积分。这个时候，如果分开结账，丈夫和妻子的积分都不到20，那么积分分别为10和16，总和为26。而合在一起结账，由于积分超过了20，积分将是52。有生活经验的夫妻们，一定是合在一起结账，而不是分开结账了。

我们创造了一个非线性的系统。把这个新的结算系统编成函数，依然用Python：

# By Vamei

def non_linear_bill(x1, x2):
    y1 = 5*x1 + 3*x2
    y2 = 2*x1 + 4*x2
    if y2 > 20:
        y2 = y2 * 2
    return y1, y2

非线性并不是人们的惯常思维方式。超市和商场常有复杂的打折、赠券、积分系统，这些系统很多时候是非线性的。大脑需要耗费很大能量，才能处理得过来。于是，作为超级线性的男生，我通常的想法都是：去它妈的，老子不要那么麻烦的合单或拆单了。

(奇怪的是，妹纸可以超级熟练的处理各种非线性的购物系统，甚至并行处理多个。上帝拿走的那根肋骨，一定是非线型的……)

“一个”

我们即将要改变我们对一个单位的数据的理解。举出一个数据

做为程序员，最直接会列举出一个数据，比如一个整数，一个浮点数。

那一个结构体呢？C语言中的结构体可以包含有多个元素。我们知道，每个元素分开写出来，并不是结构体的完整数据。比如：

typedef struct {
    int veg;
    int bean;
} Cart;

再继续，一个对象的数据呢？一个对象可以有多个属性。当我们说一个对象的数据时，我们指的是这个对象的多个属性。比如：

public class Cart{
   int veg;
   int bean;
}

再比如，我们在说一个人的数据时，包括姓名，身高、体重、IQ多个值。这多个值可以构成这个人的“一个”数据。我们可以在SQL数据库中建立这样一个Person(name, height, weight, IQ)的表。每一行，也就是一个记录(record)，算是一个数据单位。

即使是列表这样的数据容器，如果固定每个位置数据的意义，那么一个列表也可以算是“一个”数据。比如丈夫购物车为[1，2]，妻子的购物车为[2，3]。

这种包含了多个元素的数据，称为向量(vector)。与之对应，一个单一的数值，称为标量(scalar)。

一个向量

我们用带小箭头字母表示，来表示一个向量。比如丈夫的购物车：

$$ \vec{x} = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right]$$

向量可以相加减，这时只需要对应行的元素相加就可以，相当于合并或分开购物车。比如丈夫和妻子的购物车合并：

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}$$

向量也可以与一个标量相乘。比如[$\vec{x} \times 5$]表示5个购物车的量。这时只需将标量与向量的各行元素相乘。

$$ 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 10 \end{bmatrix}$$

伴随着向量，有一个简单的概念，即维度(dimension)。上面的购物车向量，包含了两个数值，即青菜的数目和黄豆的数目。我们因此说该向量是二维的。而结构体中元素的个数、对象的属性个数，都是维度。我会在以后的文章中深入维度这一概念。

有了对数据的深入理解，那么线性系统的特点可以总结如下：

$$L(a\vec{D_1} + b\vec{D_2}) = aL(\vec{D_1}) + bL(\vec{D_2})$$

[$\vec{D_1}$]和[$\vec{D_2}$]是向量，分别是丈夫和妻子的购物车。而a, b为两个标量，比如a为2，b为3，表示丈夫那样的购物车乘2，妻子的购物车乘3。L为结算系统。方程右边表示，合在一起结账。方程右边表示，丈夫和妻子分开小票，相乘再相加。方程的两边相等。

矩阵革命

在数学上，我们已经有一组方程表示出了一个线性系统。上面的方程组有些不方便的地方：

输入的元素(黄豆数目)和系统参数(单价)混合在一起
有很多字母

数学家是偷懒的动物，这点和程序员很像。他们最后找到了一种省事的记述方式。利用刚才的向量。分离的表示输入、线性系统和输出的关系：

$$\begin{bmatrix} 11 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

方程最左是个向量，最右是个向量。奇怪的是中间用括号括住的一堆数字。这被称为一个矩阵(Matrix)。可以看到，这个矩阵中有四个元素，包含了各个物品的单价和各个物品可获得的积分。这通常是结算系统所包含的数据。我们可以猜测到，这个矩阵相当于一个结算系统。左边的向量是输出，右边的向量是输入。

结算系统

这个结算系统运作时，把输入向量放横，再和结算系统的每一行元素分别相乘，即获得对应的输出元素。比如输出的第一个元素：

根据这一运算规则，一个线性系统就完全用一个矩阵表示出来了。

可以把矩阵表示成字母A，那么用代数的形式，写出输出和矩阵、输入的关系：

$$\vec{y} = A\vec{x}$$

这个代数形式，在线性代数中，有基础性的地位。方程的右边，我们说矩阵和向量进行了“乘法”运算。这一运算的规则，是按照我们上面所描述的那样运行的。这简直是对乘法符号的一次“运算符重载”(operator overload)。

我们可以用程序来实现上面的计算过程。编写类似的C程序并不复杂。更方便的是调用现有的库函数，比如Python中的numpy:

# By Vamei

import numpy as np

# matrix
a = np.matrix([[5, 3],[2, 4]])

# input Vector
x = np.array([[1], [2]])

# multiplication
y = np.dot(a, x)

print(y)

矩阵这个东西把结算系统的表示方式大大缩减。更重要在于，线性系统和矩阵是互通的。矩阵表示的是一个线性系统。一个线性系统也总可以表示一个矩阵(证明从略)。

绕了半天，矩阵 = 线性系统。

总结

线性代数的核心是线性系统的概念。线性系统与矩阵的等同性，让线性代数后面的内容，转入到对矩阵的研究中。但核心要牢记。

线性系统的概念在生活中非常常见。人的思维很多时候也是线性的。思考生活中线性和非线性的例子。

广义的数据可以表示成多维的向量。