概率论01 计数

概率

概率论研究随机事件。它源于赌徒的研究。赌博中有许多随机事件，比如投掷一个骰子，是否只凭运气呢？

赌徒逐渐发现随机事件的规律。投掷两个骰子是常见的赌博游戏。如果重复很多次，那么总数为2的次数会比总数7的次数少。这就是赌徒把握到的规律：尽管我无法预知事件的具体结果，但我可以了解每种结果出现的可能性。这是概率论的核心。

“概率”到底是什么？这在数学上还有争议。“频率派”认为概率是重复尝试多次，某种结果出现的次数在尝试的总次数的比例。“贝叶斯派”认为概率是主观信念的强弱。幸好，这些争议并不影响我们在日常生活中使用“概率”哲学。天气预报的降雨概率为80%时，很多人会因此带上伞。报纸会分析一场球赛某支球队的赢球概率，如果最终赢球概率为10%的球队取胜，那么球迷会感到惊讶，这毕竟是小概率事件。

要知道某个结果的概率并不容易。上面分析球队的赢球概率，要考虑许多因素。投一个骰子，有6种可能的结果。许多原因会影响到结果，比如撒子是否均匀，比如掷撒子的人是否有技巧偏向。只有在骰子绝对均匀，且没有作弊，每种结果出现的概率才相同。否则的话，根本无法给结果一个确定的概率值。因此，为了能从数学上给结果分配一个概率，我们往往会给随机事件增加一些假设条件。这些条件有理想化的成份，但并不至于偏离现实。比如，我们说掷撒子，撒子均匀，掷的人也没有什么特殊手法，并由此推断每种结果出现的可能相同。那么，其中任意一个结果出现的概率为1/6。

基本计数原理

上面我们谈到了“等概率”的假设。如果每种结果出现的概率相同，那么给结果分配概率的任务就变得简单一些。在计算这种概率时，我们只需要等概率的结果的总数，就可以知道每种结果的概率。比如掷一个撒子会有6种结果，如果等概率，那么每个结果的概率为1/6。对于一些复杂的情况，就需要使用到计数技巧。

计数的基本原理叙述如下:

如果一个实验可以分为m个步骤，每个步骤分别有[$n_1, n_2, ..., n_m$]种可能，那么总共会有

$$n_1 \times n_2 \times ... \times n_m$$

种可能的结果。

基本技术原理的核心是“分步”。对于简单的一个步骤的事情，我们能比较直接的分辨结果的总数。比如生一个孩子的性别，比如一个硬币的正反，比如一个撒子的结果。当一个随机事件是多个步骤复合而成的，而每个步骤又都是随机的，那么分布可以简化问题的复杂性。想像一个餐厅，有三个窗口，分别卖三种饮料，五种菜和两种主食。每个学生在每个窗口限选一种，那么学生的餐饮配套会有3x5x2共30种可能的结果。如果每个窗口的师傅都很随意霸道，随手给学生一样东西，那么我们甚至于可以假设等概率条件，每种餐饮拍套出现的概率为1/30。

(当然，作为学生，会抗议这样的“随机”食堂吧？)

基本计数原理的应用并不局限于概率论。在程序员进行算法分析时，无形中使用的就是进行计数。比如嵌套循环，外循环需要M步，内循环需要N步，那么总共进行操作的次数是MxN次。可以说，计数是“离散数学”非常重要的一个组成部分；而离散数学，正是计算机专业的核心数学课程。

基本计数原理是思考的起点。现实中的情况往往会更多变些。特别是当我们“分布”的动作都是作用于同一个群体时，会相对复杂。我们分类了解以下情形:

有序的重复抽样

考虑下面的两个问题:

• 一个骰子连续掷2次，所有可能的结果有多少个？
• 一个彩票可选6个号，每个号可以是0到9，共有多少个可能的结果？

我们可以看到，这一类的抽样结果是由多次抽样构成的。每次抽样的样本，在下一次也可能出现。比如骰子第一次为1，第二次还可能为1。这叫做重复抽样 (或者说有放回的抽样，sampling with replacement)。在骰子的例子中，每次抽样的可能出现的结果都有6种。

样本出现的次序影响结果。比如[$(1, 2)$]和[$(2, 1)$]是两个不同结果。

从数学上来说，如果进行m次有放回的抽样，每次抽样都有n种可能。如果最终结果有序，那么将有

$$n^m$$

种可能。

我们下面模拟骰子的例子:

import itertools

a = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
outcomes = list(itertools.product(a, a))

print(outcomes)
print(len(outcomes))

共返回36个可能的结果:

[(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), 
 (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), 
 (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), 
 (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), 
 (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), 
 (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)]

36

如果每种结果的出现概率相同，那么对于其中的某个具体结果来说，它出现的概率[$P=1/36$]。

有序的非重复抽样

考虑下面两个问题:

• 从4个人中，挑出2个人分别担任队长和副队长，有多少种可能？
• 从10们课种，挑选3门，分别放入周一、周三、周五的课表，有多少种可能？

可以看到，这样的抽样是没有重复的。某一次抽样的样本在此后不会出现，前面一个步骤的动作减少了后面一个步骤的选择，这叫做非重复抽样。在非重复的前提下，每次抽样可能的结果数递减，比如从4个人中选一个作为队长，那么副队长只能从3个人中选择。

同样，结果是有序的。A担任队长，B担任副队长，与A担任副队长，B担任队长，是两个不同结果。

有序的非重复抽样又叫做排列(permutation)。从数学上来说，从n个样品中挑选m个，放入m个位置，将有$$n\times(n-1)\times...\times(n-m+1)$$种可能。如果我们使用阶乘(factorial)运算符，那么结果可以表示为

$$\frac{n!}{(n-m)!}$$

其中，[$n!=1\times2\times...\times(n-1)\times n$]。

我们用下面的程序来模拟队长组合的状况:

import itertools

a = ["Tom", "Lee", "King", "James"]
outcomes = list(itertools.permutations(a, 2))

print(outcomes)
print(len(outcomes))

结果为

[('Tom', 'Lee'), ('Tom', 'King'), ('Tom', 'James'), 
 ('Lee', 'Tom'), ('Lee', 'King'), ('Lee', 'James'), 
 ('King', 'Tom'), ('King', 'Lee'), ('King', 'James'), 
 ('James', 'Tom'), ('James', 'Lee'), ('James', 'King')]

共有12种可能的结果。

无序的非重复抽样

考虑下面的问题:

• 从4个人中抽出2个人，有多少种可能？
• 从一副扑克中抽3张牌，有多少种可能？

在上面的问题中，每次抽样同样是非重复的。但这里，抽样结果是无序的。比如说，抽出"Lee"和"Tom"，以及抽出"Tom"和"Lee"，是同一个结果。这样的抽样方式叫做组合(combination)。

m个样品有[$m!$]种排列方式。如果是从n个样品中抽取m个作为组合，所有的这[$m!$]种排序方式应该看做一种。因此，有

$$\frac{n!}{(n-m)!m!}$$

种可能结果。我们可以用下面的方式记录组合:

$$\left( \begin{array}{c} n \\ m \end{array} \right) = \frac{n!}{(n-m)!m!}$$

我们下面来模拟第一个问题:

import itertools

a = ["Tom", "Lee", "King", "James"]
outcomes = list(itertools.combinations(a, 2))

print(outcomes)
print(len(outcomes))

有以下结果

[('Tom', 'Lee'), ('Tom', 'King'), ('Tom', 'James'),
 ('Lee', 'King'), ('Lee', 'James'),
 ('King', 'James')]

可以看到，从4个中挑选2个，有6种可能的组合。这是排列的一半。

组合的问题可以进一步延伸。比如，将9个球分为1, 3, 5个的三堆，有多少种方式？这相当于从9个球中抽取1个，再从剩下的8个球中抽取3个，最后剩下的5个为一堆。可以证明，结果为

$$\frac{9!}{1!3!5!}$$

类似的，将n个球分为[$n_1, n_2, ... , n_m$]个的堆，其中[$n=n_1 + n_2 + ... + n_m$]。将有

$$\frac{n!}{n_1!n_2!...n_m!}$$

种可能。

无序的重复抽样

考虑下面的问题:

• 刮奖彩票有4种奖品。购买3张彩票的话，有多少种中奖可能？

在上面的每次抽样中，都是重复抽样，即抽出后有放回。比如刮奖中，可以多次刮到同一奖品。我们在一个表中记录结果:

可以看到，我们实际上是将3张彩票分成4份，每份的数目不定[$( \geq0 )$]。

这与下面的问题类似，将5个相同物品放入三个不同的容器中:

图片来源

我们用2个黑色分隔物，来将5个相同的物品分为3堆。比如这里，将物品分为(0, 2, 3)的结果。

从7个位置中挑选2个作为分割物的位置，共有

$$\left( \begin{array}{c} 7 \\ 2 \end{array} \right)$$

种可能。

概括来讲，从n个样品中，无序的重复抽样m次，有

$$\left( \begin{array}{c} {n + m - 1} \\ {m - 1} \end{array} \right)$$

种可能。

阶乘与组合

我们在上面多次使用了阶乘运算，在Python中，它可以使用math.factorial实现:

import math
print(math.factorial(5))

此外，组合可以使用scipy.misc.comb来近似计算，比如:

import scipy.misc
print(scipy.misc.comb(4, 2))

练习

每一部分都提出了两个问题，思考第二个问题的结果。

总结

基本计数原理

排列

组合