统计02：怎样描绘数据

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2023-12-01

统计最开始的主要任务就是描述数据。正如我们在统计概述中提到的，群体的数据可能包含大量的数字，往往让人读起来头昏脑涨。电影《美丽心灵》中，数学家纳什不自觉地沉浸在一串数字中。这样的电影桥段经常让观众感到惭愧。但真相是，每个人的注意力和短期记忆都很有限，只能集中在很少量的信息。数据描述就是要用一定的方法来提取少量信息，从而让人更容易明白数据的含义。数据描述的方法可以分为两大门类，即群体参数和数据绘图。两者都起到了简化信息作用，从而让数据变得更加易读。

群体参数

群体参数是用一些数字来表示群体的特征。我们在统计概述中已经介绍了两个群体参数，群体平均值和群体方差。群体平均值（population mean）反映群体总体状况，定义如下：

$$\mu=\frac{1}{N} \sum_{i=0}^N x_i$$ 群体方差（population variance）反映群体的离散状况，定义如下： $$\sigma^2=\frac{1}{N} \sum_{i=0}^N (x_i - \mu)^2$$ 方差的平方根，即[$\sigma$]，称为群体标准差（standard deviation）。从物理的角度上来看，平均值和标准差所带的单位，都和原始数据相同。在多数统计案例中，大部分的群体数据会落在平均值加减一个标准差的范围内。还有一些参数要通过对群体成员进行排序才能获得。比如群体的最大值（max）和最小值（min）。在这一类参数中，还经常会用到中位数（median）和四分位数（quartile）。对成员进行排序后，最中间成员的取值就是中位数。如果群体总数为偶数，那么中位数就是中间两个成员取值的平均值。按照大于还是小于中位数的标准，成员可以划分为数目相同的两组。对这两组再求中位数，就可以获得下四分位数（lower quartile）和上四分位数（upper quartile）。[$Q_1$]和[$Q_3$]之间的距离，称为四分位距（IQR，inter quartile range），也是一个常见的群体参数。我们用下面符号表示： $$Q_1 = lower\ quartile$$ $$Q_2 = M = median$$ $$Q_3 = upper\ quartile$$ $$IQR = Q_3 - Q_1$$ 中位数是按照50%划分数据，下四分位数是按照25%划分数据，上四分位数是按照75%划分数据。其实，中位数和四分位数都属于百分位数（percentile）。我们用任意比例来划分数据，从而取得百分位数。把数据按数值大小排列，处于p%位置的成员的取值，称第p百分位数。我们可以计算出湘北高中学生身高数据的描述参数：

mean: 172.075924
variance: 102.570849846
standard deviation: 10.1277267857
median: 172.21
lower percentile: 165.31
upper percentile: 178.9025
IQR: 13.5925

代码如下：

import numpy as np

with open("xiangbei_height.txt", "r") as f:
        lines = f.readlines()

x = list(map(float, lines))
print("mean:", np.mean(x))
print("variance:", np.var(x))
print("standard deviation:", np.std(x))
print("median:", np.median(x))
print("lower percentile:", np.percentile(x, 25))
print("upper percentile:", np.percentile(x, 75))
print("IQR:", np.percentile(x, 75) - np.percentile(x, 25))

数据绘图

数据绘图利用了人类对形状的敏感。在通过数据绘图，我们可以将数字转换的几何图形，让数据中的信息变得更容易消化。数据绘图曾经是个费时费力的手工活，但计算机图形的发展让数据绘图变得简单。这两年更是新兴起“数据可视化”，用很多炫目的手段来呈现数据。但说到底，经典的绘图只有那么几种，如饼图、散点图、曲线图。“数据可视化”中的创新手法，也只不过是从这些经典方法中衍生出来的。由于人们已经形成了约定俗成的数据绘图习惯，绘图方式上的过度创新甚至会误导读者。所以，这里出现的，也是经典的统计绘图形式。

由于这一系列统计教程主要用Python，我将基于Matplotlib介绍几种经典的数据绘图方式。Matplotlib是基于numpy的一套Python工具包，提供了丰富的数据绘图工具。当然，Matplotlib并非唯一的选择。有的统计学家更偏爱R语言，而Web开发者流行使用D3.js。熟悉了一种绘图工具后，总可以触类旁通，很快地掌握其他的工具。

饼图

我们将以2011年几个国家的GDP数据为例子，看看如何绘制经典的饼图和条形图。数据如下：

USA        15094025
China      11299967
India       4457784
Japan       4440376
Germany     3099080
Russia      2383402
Brazil      2293954
UK          2260803
France      2217900
Italy       1846950

这是一个只有10个成员的群体。群体成员的取值即该成员的2011年的GDP总额。这里的单位是(百万美元)。

我们先来绘制饼图（pie plot）。绘制饼图就像分披萨。整个披萨代表成员取值的总和。每个成员根据自己取值的大小，拿相应大小的那块儿披萨。把上面的数据绘制成饼图：

从图中可以看到，在这场“分大饼”的游戏中，美国和中国占了大的份额。不过，人们从饼图中读到的只是比例，没办法获得成员的具体数值。因此，饼图适用于表示成员取值在总和中所占的百分比。上面饼图的代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt


# quants: GDP
# labels: country name
labels   = []
quants   = []

# Read data
with open('major_country_gdp.txt', 'r') as f:
    for line in f:
        info = line.split()
        labels.append(info[0])
        quants.append(float(info[1]))

print(quants)
# make a square figure
plt.figure(1, figsize=(6,6))

# For China, make the piece explode a bit
def explode(label, target='China'):
    if label == target:
        return 0.1
    else:
        return 0
expl = list(map(explode,labels))

# Colors used. Recycle if not enough.
colors  = ["pink","coral","yellow","orange"]

# Pie Plot
# autopct: format of "percent" string;
plt.pie(quants,
        explode=expl, colors=colors, labels=labels,
        autopct='%1.1f%%',pctdistance=0.8, shadow=True)
plt.title('Top 10 GDP Countries (2011)', bbox={'facecolor':'0.8', 'pad':5})

plt.show()

条形图和直方图

饼图的缺点是无法表达成员的具体取值，而条形图（bar plot）正是用于呈现数据取值。条形图绘制的是一个个竖直的长条，这个长条的高度就代表了取值。还是用上面2011年GDP的数据，用条形图绘制出来就是：

条形图有水平和竖直两个方向。水平方向上标出了每个竖条对应的国家，竖直方向标出了GDP的数值。这样，读者就可以读出每个国家的GDP了。上面绘图的代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


# quants: GDP
# labels: country name
labels   = []
quants   = []

# Read data
with open('major_country_gdp.txt') as f:
    for line in f:
        info = line.split()
        labels.append(info[0])
        quants.append(float(info[1]))

width = 0.4
ind = np.linspace(0.5,9.5,10)
# make a square figure
fig = plt.figure(1, figsize=(12,6))
ax  = fig.add_subplot(111)

# Bar Plot
ax.bar(ind-width/2,quants,width,color='coral')

# Set the ticks on x-axis
ax.set_xticks(ind)
ax.set_xticklabels(labels)
# labels
ax.set_xlabel('Country')
ax.set_ylabel('GDP (Million US dollar)')
# title
ax.set_title('Top 10 GDP Countries (2011)', bbox={'facecolor':'0.8', 'pad':5})
plt.show()

基本的条形图就是这样一种标记数据取值的绘图方式。如果想知道数值，那么可以直接从数据表中读出来，大可以不必画条形图。统计绘图中更常用一种从条形图中衍生出来的绘图方式：直方图（histogram）。直方图会对群体数据进行预处理，然后再把预处理结果用条形图的形式画出来。举一个简单的例子，在绘图中呈现湘北高中所有学生的身高数据。想象一下，如果让每个学生的身高对应一个竖条，那么图上就会密密麻麻地挤满数千个竖条，很难提供有价值的信息。但如果画成直方图的形式，看起来就会如下图：

在这幅图中，横坐标成了身高取值。每个竖条的宽度对应了一定的身高范围，例如170cm到172cm。竖条的高度，对应了身高在该区间内的学生数。因此，直方图先进行了一次分组的预处理，然后用条形图的办法，画出了每个组中包含的成员总数。在分组的处理中，一些原始信息丢失，以至于从竖条中没办法读出学生的具体身高。但得到简化的信息变得更容易理解。看了这个图之后，我们可以有信心地说，大部分学生的身高在170cm附近。而身高低于150cm或者身高高于190cm的学生占据的比例很少。如果一个人只是读原始数据，很难短时间内获得上面的结论。

直方图绘图程序如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

with open("xiangbei_height.txt", "r") as f:
    lines = f.readlines()

x = list(map(float, lines))

plt.title("Heights of Students (Shohoku High School)")
plt.hist(x, 50)
plt.xlabel("height (cm)")
plt.ylabel("count")
plt.show()

代码中的hist()函数用于绘制直方图，其中的50说明了要生成的区间分组的个数。根据需要，你也可以具体说明在哪些区间形成分组。

趋势图

趋势图（run chart）又称为折线图，经常用于呈现时间序列。时间序列是随着时间产生的一组数据，比如上海去年每一天的气温，再比如中国最近50年的GDP。趋势图会把相邻时间点的数据用直线连接起来，从而从视觉上体现出数据随时间变化的特征。趋势图在生活中很常见，例如股民就经常会通过类似的图来了解股价随时间的变化。下面是中国1960-2015年GDP的趋势图：

在这个趋势图中很容易看到，中国的GDP随着时间快速增长。绘图的代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# read data
with open("China_GDP.csv", "r") as f:
    lines = f.readlines()
    info = lines[1].split(",")

# convert data
x = []
y = []

def convert(info_item):
    return float(info_item.strip('"'))

for count, info_item in enumerate(info):
    try:
        y.append(convert(info_item))
        x.append(1960 + count)
    except ValueError:
        print("%s is not a float" % info_item)

# plot
plt.title("China GDP")
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("year")
plt.ylabel("GDP (USD)")
plt.show()

散点图

上面的绘图方式，本质上都是二维统计图。饼图是国别和比例的二维信息，直方图体现了身高和人数的二维关系，趋势图的两个维度则是时间和GDP。散点图（scatter plot）是一种最直接的表达二维关系的绘图方式。二维绘图的其他方式，都可以理解成散点图的一个变种。

散点图通过在二维平面上标记出数据点来呈现数据。如果我们想研究湘北高中学生身高和体重的关系，就可以在表示“身高-体重”的二维平面上，标记出所有成员的数据：

在这个散点图中，二维平面的横向代表身高，纵向代表体重，每一个点代表了一个学生。通过这个点对应的横纵坐标，就可以读出该学生的身高和体重。散点图可以直观地呈现所有数据，因此上可以告诉我们整体分布上有何特征。我们从图中可以看到，体重大体上随着身高增长而增长。

绘图代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def read_data(filename):
    with open(filename) as f:
        lines = f.readlines()
    return np.array(list(map(float, lines)))

height = read_data("xiangbei_height.txt")
weight = read_data("xiangbei_weight.txt")

plt.scatter(height, weight)

plt.title("Shohoku High School")
plt.xlabel("height(cm)")
plt.ylabel("weight(kg)")
plt.ylim([20, 120])

plt.show()

散点是通过二维的位置来表示数据。在应用中，还可以通过散点的大小来表示三维的数据。这种进化了的散点图称为泡泡图（bubble plot）。除了散点的大小，泡泡图有时还会用散点的颜色来表达更高维度的信息。

我们来看泡泡图的一个例子。下图中绘出了亚洲主要城市的人口。城市的位置包含了二维的信息，即经度和纬度。此外，人口构成了第三维。我们用散点的大小来表示这一维度。

数据如下：

Shanghai 23019148  31.23N  121.47E  China
Mumbai   12478447  18.96N  72.82E   India
Karachi  13050000  24.86N  67.01E   Pakistan
Delhi    16314838  28.67N  77.21E   India
Manila   11855975  14.62N  120.97E  Philippines
Seoul    23616000  37.56N  126.99E  Korea(South)
Jakarta  28019545   6.18S  106.83E  Indonesia
Tokyo    35682460  35.67N  139.77E  Japan
Peking   19612368  39.91N  116.39E  China

代码中使用了matplotlib的Basemap模块来绘制地图：

from mpl_toolkits.basemap import Basemap
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

#============================================# read data
names = []
pops  = []
lats  = []
lons  = []
countries = []

with open("major_city.txt", "r") as f:
    for line in f:
        info = line.split()
        names.append(info[0])
        pops.append(float(info[1]))
        lat  = float(info[2][:-1])
        if info[2][-1] == 'S': lat = -lat
        lats.append(lat)
        lon  = float(info[3][:-1])
        if info[3][-1] == 'W': lon = -lon + 360.0
        lons.append(lon)
        country = info[4]
        countries.append(country)

#============================================
# set up map projection with
# use low resolution coastlines.
map = Basemap(projection='ortho',lat_0=35,lon_0=120,resolution='l')

# draw coastlines, country boundaries, fill continents.
map.drawcoastlines(linewidth=0.25)
map.drawcountries(linewidth=0.25)

# draw the edge of the map projection region (the projection limb)
map.drawmapboundary(fill_color='#689CD2')

# draw lat/lon grid lines every 30 degrees.
map.drawmeridians(np.arange(0,360,30))
map.drawparallels(np.arange(-90,90,30))

# Fill continent wit a different color
map.fillcontinents(color='#BF9E30',lake_color='#689CD2',zorder=0)

# compute native map projection coordinates of lat/lon grid.
x, y = map(lons, lats)
max_pop = max(pops)

# Plot each city in a loop.
# Set some parameters
size_factor = 160.0
y_offset    = 15.0
rotation    = 30

adjust_size = lambda k: size_factor*(k-10000000)/max_pop
for i,j,k,name in zip(x,y,pops,names):
    cs = map.scatter(i,j,s=adjust_size(k),marker='o',color='#FF5600')
    plt.text(i,j+y_offset,name,rotation=rotation,fontsize=10)
    print(i, j)
examples = [12000000, 24000000, 36000000]

pop = 12000000
plt.scatter(300000, 300000,s=adjust_size(pop),marker='o',color='red')
plt.text(300000, 300000+y_offset,str(pop/1000000) + "million",rotation=0,fontsize=10)

pop = 24000000
plt.scatter(3300000, 300000,s=adjust_size(pop),marker='o',color='red')
plt.text(3300000, 300000+y_offset,str(pop/1000000) + "million",rotation=0,fontsize=10)

pop = 36000000
plt.scatter(6300000, 300000,s=adjust_size(pop),marker='o',color='red')
plt.text(6300000, 300000+y_offset,str(pop/1000000) + "million",rotation=0,fontsize=10)


plt.title('Major Cities in Asia & Population')
plt.show()

箱形图

之前的绘图方式侧重点在原始数据。还有一些绘图是为了呈现群体参数，比如箱形图（box plot）。比如湘北高中身高数据绘制成箱形图：

如图中标注的，箱形图体现的主要是中位数和四分位数。上下四分位数构成了箱子，其中包含了一半的数据成员。此外，上下还有两个边界，位于箱子的上下边缘各外推1.5个箱子高度的位置。如果外推1.5个箱子位置超出了数据库的极值，那么边界换成极值的高度。否则，将有数据点超出边界。这些数据点被认为是异常值（outlier），用散点的方式画出。

代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt


with open("xiangbei_height.txt", "r") as f:
        lines = f.readlines()

x = list(map(float, lines))
plt.boxplot(x)

plt.title("box plot of Shohoku High School")
plt.xticks([1], ['Shohoku'])
plt.ylabel("height (cm)")
plt.show()

箱形图体现了一个思路，就是在绘制原始数据的同时画出群体参数，从而辅助我们理解数据。比如，我们可以在直方图中标出平均值和标准差：

代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

with open("xiangbei_height.txt", "r") as f:
    lines = f.readlines()

x = list(map(float, lines))

plt.title("Heights of Students (Shohoku High School)")

plt.hist(x, 50)
plt.xlabel("height (cm)")
plt.ylabel("count")

mu  = np.mean(x)
std = np.std(x)

h = 120
text_color = "white"

plt.axvline(x=mu, color="red")
plt.text(mu, h,'mean',rotation=90,color=text_color)

plt.axvline(x=mu-std, color="coral")
plt.text(mu-std, h,'mean-std',rotation=90,color=text_color)

plt.axvline(x=mu+std, color="coral")
plt.text(mu+std, h,'mean+std',rotation=90,color=text_color)

plt.show()

如何画好图

尽管这里说明了一些常用的数据绘图方法，但数据绘图的过程中有很多人为创作的因素在。因此，同一个数据库，甚至同一种绘图形式，都可能产生多种多样的数据图像。不同的数据图像，在传递信息的有效性上，会产生不小的差别。怎样画好数据图呢？我根据自己的经验，总结了下面几个标准：

确定目的。尽管在研究过程中，我们会画出大量的数据图，但在展示数据图时，要有所侧重。
在标题中说明一张数据图的主要内容。
标明每一个坐标轴，并标明坐标的刻度和单位。
如果没有坐标轴，需要用图例来说明读数。例如在泡泡图中用图例说明泡泡大小所代表的读数。
在图中标注附加的图像元素，如代表平均值的标示线、代表拟合的虚线曲线等。
备份数据、图像文件和相关代码。

在介绍一副数据图时，也可以遵循一定的顺序：

一句话说明画了什么：“这幅图描绘了湘北高中学生身高分布。”
说明坐标轴：“图中横轴代表了身高，纵轴代表了人数。”
说明主要图像元素的含义：“每个竖条对应一定的身高区间。竖条的高度，代表了该身高区间内学生的人数。”
说明次要图像元素的含义：“红线代表了学生的平均身高。”
引导读者深入解读：“可以看到，学生身高大多集中在平均值附近……”

当然，对于存在人为创作因素的数据绘图来说，也没有定法。但建立一定的流程，能提高绘图的效率。所以我也建议你建立自己的绘图流程。

总结

在这一篇文章里，我主要用参数和绘图呈现群体的数据。类似的方法还经常用于呈现样品数据。由于在描绘样品时需要涉及到统计推断，所以我把样品描绘的方法放在将在统计推断的相关文章中讲解。

如果你想更多地了解Matplotlib，可以参考官方文档，以及我以前写的这篇文章：matplotlib核心剖析。