概率论09 期望
描述量
描述随机变量最完备的方法是写出该随机变量的概率分布。然而，正如我们在前面章节看到的，概率分布的表达往往都比较复杂，信息量很大。这如同我们购置汽车的时候，一辆汽车的全面数据可以说是海量的，比如汽车尺寸，油箱大小等等。我们选择一辆汽车时，往往只使用有限的几个具有代表性的量来代表汽车的主要特征，比如排气量，最大马力。我们信赖这几个量，因为它们可以“粗糙”的描述汽车的主要性能。这些量是汽车全面数据的一个缩影。
类似的，统计学家也设计了这样的投影系统，将全面的概率分布信息量投射到某几个量上，来代表随机变量的主要特征，从而掌握该随机变量的主要“性能”。这样的一些量称为随机变量的描述量(descriptor)。比如期望用于表示分布的中心位置，方差用于表示分布的分散程度等等。这些描述量可以迅速的传递其概率分布的一些主要信息，允许我们在深入研究之前，先对其特征有一个大概了解。
(买西瓜之前，先听听声音，可以对西瓜的成熟度有个了解。)
期望
期望(expectation)是概率分布的一个经典描述量，它有很深的现实根源。在生活中，我们往往对未知事件有一个预期，也就是我们的期望。比如，我们会根据自己的平时成绩，来期望高考分数。现实生活中的期望可以是许多因素的混合，比如历史表现和主观因素。
你的期望是什么？
在概率论中，我们更加定量的对未知结果进行预估。根据概率分布，我们以概率值为权重，加权平均所有可能的取值，来获得了该随机变量的期望(expectation):
$$E(x) = \sum_i x_ip(x_i)$$
如果某个取值概率较大，那么它就在最终结果中占据较大的分量。期望是一个非常简单而直观的概念。期望常用字母[$\mu$]表示 ([$\mu$]同样是高斯分布的一个参数，我们将马上看到，为什么同一个字母用在两个地方)。
期望在生活中非常常见，特别在估计收益的时候。比如，买一张彩票的收益为一个随机变量X。该彩票售价为2元，有三位数，每位数可以从0到9中任意选择。每期有一个随机选择的号获奖，奖金1000元。那么，X的分布为:
$$p(-2) = 999/1000$$
$$p(998) = 1/1000$$
因此，
$$E(X) = -2 \times p(-2) + 998 \times p(998) = -1.0$$
也就是说，如果买一张彩票，收益的期望为损失1元。
期望是在事件还没确定时，根据概率，对平均结果的估计。如果事件发生，结果并不是期望值。但是，如果重复进行大量实验，其结果的平均值会趋近期望值。需要注意的是，我们将期望写成E(X)，这表示的是一个数值，而不是一个随机变量的函数。
基于相似的道理，可以用下面的积分公式，计算连续随机变量的期望：
$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$$
正态分布的期望
$$E(X) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}xe^{-(x - \mu)^2/2 \sigma^2} dx = \mu$$
即，分布的参数[$\mu$]就是正态分布的期望！这也是[$\mu$]常用于表示期望的原因。
回忆正态分布的密度函数曲线，[$x = \mu$]是分布曲线的对称轴。如果将密度函数曲线下的面积看做一个“物品”，那么[$x = \mu$]是该“物品”的重心所在。比如[$\mu = 0, \sigma = 1$]时，
代码如下:
# By Vamei
from scipy.stats import norm
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
rv = norm(loc=0, scale = 1)
x = np.linspace(-5, 5, 200)
plt.fill_between(x, rv.pdf(x), y2=0.0 color="coral", label="N(0,1)")
plt.axvline(x = rv.mean(), label="E(X)", linewidth=1.5, color="blue")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.xlim([-5, 5])
plt.ylim([-0.0, 0.5])
plt.title("normal distribution")
plt.xlabel("RV")
plt.ylabel("f(x)")
plt.show()上面的代码中，rv是一个随机变量对象，调用mean()方法，可以计算该随机变量的期望值。
指数分布的期望
根据指数分布的表达式，
$$f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} \lambda e^{-\lambda x} & if & x \ge 0 \\ 0 & if & x < 0 \end{array} \right.$$
它的期望为:
$$E(x) = 1/\lambda$$
对于[$\lambda = 0.2$]的指数分布，它的期望值为5。
可以通过编程，来计算指数分布的期望。如下图所示:
# By Vamei
from scipy.stats import expon
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
rv = expon(scale = 5)
x = np.linspace(0.0, 30, 100)
print rv.pdf(x)
plt.fill_between(x, rv.pdf(x), y2=0, color="coral", label="0.2")
plt.axvline(x = rv.mean(), label="E(X)", linewidth=1.5, color="blue")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.xlim([0, 25])
plt.ylim([0, 0.2])
plt.title("exponential distribution")
plt.xlabel("RV")
plt.ylabel("f(x)")
plt.show()期望的性质
期望有一些很有用的性质：
性质1.
如果[$Y=g(X)$]，那么当X为离散随即变量，且[$\sum |g(x)|p(x) < \infty$] (该条件保证下面的累加为有限值)
$$E(Y) = \sum_x g(x)p(x)$$
当X为连续随机变量，且[$\int |g(x)|f(x)dx < \infty$] (该条件保证下面的积分为有限值)
$$E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx$$
回忆随机变量的函数。X和Y之间存在对应关系。Y的概率分布，等于对应X的概率分布。因此，[$Y = g(X)$]根据X概率的加权平均，就是Y的期望。
性质2.
[$Y = g(X_1, X_2, ..., X_n)$]。如果[$X_i$]是离散的，且有分布[$p(x_1, ..., x_n)$]，那么当[$\sum_{x_1, ..., x_n}|g(x_1, ..., x_n)|p(x_1, ..., x_n) < \infty$]时，有
$$E(Y) = \sum_{x_1, ..., x_n} g(x_1, ..., x_n)p(x_1, ..., x_n)$$
如果[$X_i$]是连续的，且有分布[$f(x_1, ..., x_n)$]，那么当[$\int\int...\int |g(x_1, ..., x_n)|f(x_1, ..., x_n)dx < \infty $]时，有
$$E(Y) = \int\int...\int g(x_1, ..., x_n)f(x_1, ..., x_n)dx $$
这一性质与上面一个性质类似，只不过换成多变量联合分布的情况。
利用性质1和性质2，我们可以根据原随机变量的分布，计算随机变量函数的期望值。
性质3.
如果X和Y是独立随机变量，而g和h是两个函数，如果[$E[g(X)], E[h(Y)]$]存在，那么有
$$E[g(X)h(Y)] = {E[g(X)]}{E[h(Y)]}$$
根据独立随机变量的性质，我们可以将联合分布写成f(x)和f(y)的乘积。结合性质2，即可得出上面的结论。
一个特别的情况是，如果X和Y独立，那么[$E(XY) = E(X)E(Y)$]。
(即[$g(X) = X, h(Y) = Y$]的情况)
性质4.
如果[$Y = a + \sum_{i=1}^{n}b_iX_i$]，而[$X_i$]的期望为[$E(X_i)$]，那么
$$E(Y) = a + \sum_{i=1}^n b_i E(X_i)$$
这说明，期望是一个线性运算。随机变量线性组合的期望，等于期望的线性组合。
我们可以假设f(x_i, ..., x_n)的联合分布，并根据性质2来证明性质4。对联合分布的积分，可以得到单随机变量的边缘分布，从而获得单随机变量的期望。
上面四个性质的一个主要功能是，利用已知的期望值，来计算未知的期望值。有些随机变量的期望值比较难以通过定义计算。利用上面的性质，进行合理的变化，更容易计算其期望。
比如，计算二项分布的期望。二项分布是进行n次实验，其中成功的次数Y。每次成功的概率为p。根据定义计算
$$E(Y) = \sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) k p^k (1-p)^{n-k}$$
上面的计算并不容易。另一方面，观察可知，每次试验成功的次数X是伯努利分布，即
$$p(1) = p, p(0) = 1 - p$$
$$E(X) = p$$
二项分布Y可以表示为n个伯努利分布的和，即
$$Y = \sum_{k=i}^{n} X_i$$
所以
$$E(Y) = \sum_{k=i}^{n} E(X_i) = np$$
条件期望
条件期望将期望用于条件概率。我们已经知道，条件概率是事件B条件下， A的概率，即[$P(A|B)$]。条件概率只不过是在一个缩小了的样本空间B上，重新计算A的概率。条件概率的A与B可以是随机变量，比如[$P(X|Y = y)$]，即“随机变量Y等于y”是条件，在该条件下，随机变量X的随机分布。
(在连续随机变量的情况下，我们使用条件密度函数[$f(x | Y = y)$]来描述条件分布)
对于一个已知的分布，我们可以求得条件分布的期望。对于离散随机变量:
$$E(X | Y = y) = \sum_i x_ip(x_i|Y = y)$$
其中，[$x_i$]为该离散随机变量的可能取值。也就是，在一个新的样本空间(Y = y)上，随机变量X的期望值。
对于连续随机变量，其条件期望为:
$$E(X | Y = y) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x|Y = y)dx$$
一个随机变量的期望为一个数值。但一个条件分布的期望，比如[$E(X | Y = y)$]，会随着随机变量Y的变化而变化。所以，条件期望是随机变量Y的函数。根据随机变量的函数的概念，[$E(X | Y = y)$]可以看作一个新的随机变量。我们可以进一步得到这一新的随机变量的期望[$E(E(X|Y))$]。
总结
期望是随机变量分布的一个描述量，用“概率加权平均”来计算，表达随机变量的预期。