概率论03 条件概率

在概率公理中，我们建立了“概率测度”的概念，并使用“面积”来类比。这是对概率的第一步探索。为了让概率这个工具更加有用，数学家进一步构筑了“条件概率”，来深入探索概率中包含的数学结构。我们可以考虑生活中常见的一个估计：

三个公司开发一块地。A占地20%，B占地30%，C占地50%。三个公司规划的绿地占比不同：A土地中40%规划为绿地，B土地中的30%规划为绿地，C土地中的10%规划为绿地。我想选择绿地最大的一个小区，应该选择哪一个呢？我们可以画图出来：

显然，我们需要比较的是A：0.2x0.4，B：0.3x0.1，C：0.5x0.1。这是我们常见的一种情形：整个地区分块，每块有一定的比例。再进一步考虑每一块内部的相对比例。我们要了解的“条件概率”这一概念，就对应这里的“相对比例”。

条件概率：何弃疗

上面公司的不同造成了绿地占比的不同，也就是说，公司这一因素影响了绿地占比。条件概率同样反映了其它因素对事件概率的影响。

比如说，患者康复有一个概率。在接受治疗和放弃治疗的两种条件下，患者康复的概率也不同。下面是患者的统计结果。

所有的1000人中，共有400人康复，总体的康复概率为[$P(R) = 400/1000 = 0.4$]。另一方面，在接受治疗一列，总共有500人。在这500人种，有300人康复。因此，在接受治疗的条件下，康复的概率变成[$ 300/500 = 0.6$]。这个概率值高于总体的康复概率。而放弃治疗的条件下，康复的概率为[$ 100/500 = 0.2$]，康复的概率较低 (可恶，为何放弃治疗)。可见，康复率受到是否接受治疗这一条件的影响。

为了表达某一事件(治疗)对另一个事件(康复)概率的影响，概率论中引入条件概率的概念。条件概率记为[$P(R|T) = 300/500 = 0.6$]。R和T是两个事件，即治疗和康复。在治疗(T)的条件下，患者康复(R)的概率为0.6。

(对应文章开始的例子，每个公司的绿地占比为条件概率。比如[$P(绿地|A公司) = 40%$])

不要放弃治疗啊！

条件概率的定义

上面给出了条件概率的粗糙概念。但我们已经了解了概率的公理化体系，因此可以基于公理化体系，更严格的定义条件概率。

定义 如果A和B是两个事件，且[$P(B) \ne 0$]。那么B条件下，A的条件概率为

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

这是一个非常直观的概念。回到绿地的例子，这里的意思就是说，我们想要知道A公司的绿地占比[$P(绿地 | A公司)$]的话，可以用A公司占据的绿地面积[$P(A公司 \cap 绿地)$]，除以A公司占据土地的面积[$P(A公司)$]。

在上面定义条件概率时，我们使用了概率[$P(A \cap B)$]，即A和B同时发生的概率。从频率的角度上来看，是同时符合A和B的样本数除以[$\Omega$]中的样本总数。比如上面治疗和康复的例子，[$P(R \cap T) = 300/1000$]。但[$P(A|B)$]的隐含假设是，B确定要发生，即病人确定康复。符合这样条件的样本只有500个，而不是整个[$\Omega$]的1000个样本。

也就是说，当确定B发生时，样本空间不再是[$\Omega$]，而是缩小成B。我们在B样本空间中寻找A发生的概率。从上面的图中看，就是[$A \cap B$]的面积(概率测度)，除以B占据的面积(概率测度)，也就是我们条件概率的定义。

条件概率的相关推论

条件概率有一些很有用的推论：

推论1 A和B为两个事件，且[$P(B) \ne 0$]。那么

$$P(A \cap B) = P(A|B)P(B)$$

这个只是将上面的定义中的等式两侧乘以P(B)。从而允许我们从条件概率，来推导两个事件同时发生的概率。

假设卫星观察到，一个地区某一天有云的概率为[$P(Cloud) = 0.2$]。该地区的地面观测站发现，有云的条件下，当天下雨的为0.5。这是一个条件概率，即[$P(Rain | Cloud) = 0.5$]。那么既下雨又有云的概率为

$$P(Cloud \cap Rain) = P(Cloud) \times P(Rain | Cloud) = 0.2 \times 0.5 = 0.1$$

另一个推论，用于通过已知的条件概率，来计算一个事件的概率

推论2 有事件[$B_1, B_2, ..., B_n$]。如果[$\bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega $]，两个不同事件互斥([$B_i \cap B_j = \Phi$], 如果[$i \ne j$]），且任意[$P(B_i) \gt 0$]。那么，对于任意事件A

$$P(A) = \sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)$$

这个推论的要点是不同的B事件互斥(不相交)，且它们的并集是[$\Omega$]。每个元素都必须且只能进入一个[$B_i$]。在这样的条件下，我们说[$B_1, B_2, ..., B_n$]是样本空间的一个分割(partion)。 这就像二战后的德国被分区占领一样，每个[$B_i$]是一个占领区。

这正是对所有情况“分块”的思想。再根据每个分块中的某个事件的相对比例，乘以分块自身的权重(“块”的概率)，我们可以求得该事件的绝对占比。

假设家庭收入分为高(H)，中(M)，低(L)三类，高收入家庭占20%，中等收入家庭占65%，低收入家庭占15%。如果高收入家庭的拥有汽车的概率为0.8，中等收入家庭的拥有汽车的概率为0.5，低收入家庭的拥有汽车的概率为0.2。那么任意一个家庭的拥车概率为:

$$P(C) = P(C|H)P(H) + P(C|M)P(M) + P(C|L)P(L) = 0.8 \times 0.2 + 0.5 \times 0.65 + 0.2 \times 0.15 = 0.515$$

独立事件

两个事件可以是相互独立的 (independent)。直观的讲，如果事件A发生与否不会影响事件B的概率，那么A与B独立。

我们尝试将这一个概念用条件概率来表达：将B看作A的条件，那么A的条件概率不受B的影响，即：

定义 两个事件A和B，[$P(A) \ne 0$]，[$P(B) \ne 0$]。如果[$P(A|B) = P(A)$]，或者[$P(B|A) = P(B)$]，那么事件A和B是独立事件。

某一条件下的“相对占比”等于任意条件下的“绝对占比”？这是怎么一种情况呢？

我们可以想像这样的情况。水中氢和氧的组成比为2：1 (任意条件下)。而水的三种态(水蒸汽、液态水、冰)中的氢和氧组成也是2：1。也就是说，水的态这一条件对氢氧组成无影响，两者独立。

根据独立事件和条件概率的定义可以推知，如果

$$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$

那么A和B独立。

注意，独立事件和互斥事件不同。独立事件是指A发生的概率不影响B。对于互斥事件来说，如果A发生，那么B必然不发生，A的发生影响到了B，所以不是独立事件。比如下雨和不下雨可以看做互斥事件，而下雨和骰子为1可以看做独立事件。

事件[$A_1, A_2, ..., A_n$]被称为相互独立(mutually independent)，如果对于任意子集[$A_{i_1},...,A_{i_m}$]都有

$$P(A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_m}) = P(A_{i_1})...P(A_{i_m})$$

贝叶斯法则

根据上面的定律，我们可以推导出贝叶斯法则(Bayes' Rule)。

贝叶斯法则 如果A和[$B_1, B_2, ..., B_n$]为事件，[$B_i$]互斥，[$\bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega$]， 且[$P(B_i) \gt 0$]。那么

$$P(B_j|A) = \frac{P(A|B_j)P(B_j)}{\sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)}$$

这个法则是一种求条件概率的方式。

我们使用文章开头的治疗与康复的例子。我们已知治疗和弃疗的条件概率为[$P(R|T) = 0.6$]，[$P(R/NT) = 0.2$]，而[$P(T) = P(NT) = 0.5$]。

治疗与弃疗互斥(不可能同时治疗又弃疗)，且其并集构成全集(要么治疗，要么弃疗，没有其它的可能)。根据贝叶斯法则，

$$P(T|R) = \frac{P(R|T)P(T)}{P(R|T)P(T) + P(R|NT)P(NT)} = \frac{0.6 \times 0.5}{0.6 \times 0.5 + 0.2 \times 0.5} = 0.75$$

即一个康复的人，用药的概率。这与我们在表格中看到的比例相符(400个康复的人中，300个人用药)。

贝叶斯法则常用于求一些比较难以直接获得的条件概率。此外，在机器学习中，也有贝叶斯算法的应用。

练习，编写一个Python函数，用于实现贝叶斯法则的功能。并计算下面的概率:

已知专家预报下雨时，下雨的概率为0.8; 专家预报不下雨时，下雨的概率为0.2。根据以往的经验，专家一年中有30天预报下雨，剩下的天里预报不下雨。问，如果下雨，专家预报的是不下雨的概率为多少?

总结

条件概率

独立事件

贝叶斯法则