4. 浮点数

4. 浮点数

浮点数在计算机中的表示是基于科学计数法（Scientific Notation）的，我们知道32767这个数用科学计数法可以写成3.2767×10⁴，3.2767称为尾数（Mantissa，或者叫Significand），4称为指数（Exponent）。浮点数在计算机中的表示与此类似，只不过基数（Radix）是2而不是10。下面我们用一个简单的模型来解释浮点数的基本概念。我们的模型由三部分组成：符号位、指数部分（表示2的多少次方）和尾数部分（小数点前面是0，尾数部分只表示小数点后的数字）。

图 14.6. 一种浮点数格式

如果要表示17这个数，我们知道17=17.0×10⁰=0.17×10²，类似地，17=(10001)₂×2⁰=(0.10001)₂×2⁵，把尾数的有效数字全部移到小数点后，这样就可以表示为：

图 14.7. 17的浮点数表示

如果我们要表示0.25就遇到新的困难了，因为0.25=1×2^-2=(0.1)₂×2^-1，而我们的模型中指数部分没有规定如何表示负数。我们可以在指数部分规定一个符号位，然而更广泛采用的办法是使用偏移的指数（Biased Exponent）。规定一个偏移值，比如16，实际的指数要加上这个偏移值再填写到指数部分，这样比16大的就表示正指数，比16小的就表示负指数。要表示0.25，指数部分应该填16-1=15：

图 14.8. 0.25的偏移指数浮点数表示

现在还有一个问题需要解决：每个浮点数的表示都不唯一，例如17=(0.10001)₂×2⁵=(0.010001)₂×2⁶，这样给计算机处理增加了复杂性。为了解决这个问题，我们规定尾数部分的最高位必须是1，也就是说尾数必须以0.1开头，对指数做相应的调整，这称为正规化（Normalize）。由于尾数部分的最高位必须是1，这个1就不必保存了，可以节省出一位来用于提高精度，我们说最高位的1是隐含的（Implied）。这样17就只有一种表示方法了，指数部分应该是16+5=21=(10101)₂，尾数部分去掉最高位的1是0001：

图 14.9. 17的正规化尾数浮点数表示

两个浮点数相加，首先把小数点对齐然后相加：

图 14.10. 浮点数相加

由于浮点数表示的精度有限，计算结果末尾的10两位被舍去了。做浮点运算时要注意精度损失（Significance Loss）问题，有时计算顺序不同也会导致不同的结果，比如11.0010000+0.00000001+0.00000001=11.0010000+0.00000001=11.0010000，后面加的两个很小的数全被舍去了，没有对计算结果产生任何影响，但如果调一下计算顺序它们就能影响到计算结果了，0.00000001+0.00000001+11.0010000=0.00000010+11.0010000=11.0010001。再比如128.25=(10000000.01)₂，需要10个有效位，而我们的模型中尾数部分是8位，算上隐含的最高位1一共有9个有效位，那么128.25的浮点数表示只能舍去末尾的1，表示成(10000000.0)₂，其实跟128相等了。在第 2 节 “if/else语句”讲过浮点数不能做精确比较，现在读者应该知道为什么不能精确比较了。

整数运算会产生溢出，浮点运算也会产生溢出，浮点运算的溢出也分上溢和下溢两种，但和整数运算的定义不同。假设整数采用8位2's Complement表示法，取值范围是-128~127，如果计算结果是-130则称为下溢，计算结果是130则称为上溢。假设按本节介绍的浮点数表示法，取值范围是-(0.111111111)₂×2¹⁵~(0.111111111)₂×2¹⁵，如果计算结果超出这个范围则称为上溢；如果计算结果未超出这个范围但绝对值太小了，在-(0.1)₂×2^-16~(0.1)₂×2^-16之间，那么也同样无法表示，称为下溢。

浮点数是一个相当复杂的话题，不同平台的浮点数表示和浮点运算也有较大差异，本节只是通过这个简单的模型介绍一些基本概念而不深入讨论，理解了这些基本概念有助于你理解浮点数标准，目前业界广泛采用的符点数标准是由IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers）制定的IEEE 754。

最后讨论一个细节问题。我们知道，定义全局变量时如果没有Initializer就用0初始化，定义数组时如果Initializer中提供的元素不够那么剩下的元素也用0初始化。例如：

int i;
double d;
double a[10] = { 1.0 };

“用0初始化”的意思是变量i、变量d和数组元素a[1]~a[9]的所有字节都用0填充，或者说所有bit都是0。无论是用Sign and Magnitude表示法、1's Complement表示法还是2's Complement表示法，一个整数的所有bit是0都表示0值，但一个浮点数的所有bit是0一定表示0值吗？严格来说不一定，某种平台可能会规定一个浮点数的所有bit是0并不表示0值，但[C99 Rationale]第6.7.8节的条款25提到：As far as the committee knows, all machines treat all bits zero as a representation of floating-point zero. But, all bits zero might not be the canonical representation of zero. 因此在绝大多数平台上，一个浮点数的所有bit是0就表示0值。