不同编程语言中的浮点数学

Question

我知道浮点数学充其量是很难看的，但我想知道是否有人能解释下面的怪癖。在我测试的大多数编程语言中，将0.4加到0.2会产生轻微的误差，而0.4+0.1+0.1则表示不存在。

这两种计算结果不相等的原因是什么？在各自的编程语言中可以采取什么措施来获得正确的结果。

.4 + .2
0.6000000000000001
.4 + .1 + .1
0.6

julia> .4 + .2
0.6000000000000001

julia> .4 + .1 + .1
0.6

scala> 0.4 + 0.2
res0: Double = 0.6000000000000001

scala> 0.4 + 0.1 + 0.1
res1: Double = 0.6

Prelude> 0.4 + 0.2
0.6000000000000001    
Prelude> 0.4 + 0.1 + 0.1
0.6

> .4 + .2
[1] 0.6
> .4 + .1 + .1
[1] 0.6

Answer 1

所有这些语言都使用系统提供的浮点格式，它以二进制而不是十进制表示值。像0.2和0.4这样的值不能精确地以该格式表示，因此html" target="_blank">存储最接近的可表示值，从而导致一个小错误。例如，数值文字0.2会得到一个精确值为0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125的浮点数。类似地，对浮点数进行的任何给定算术运算都可能导致一个无法精确表示的值，因此将真正的数学结果替换为最接近的可表示值。这些是你看到的错误的根本原因。

然而，这并不能解释语言之间的差异：在您的所有示例中，都进行了完全相同的计算，得到了完全相同的结果。不同之处在于不同语言选择显示结果的方式。

严格地说，你展示的答案没有一个是正确的。假设IEEE 754二进制64算法具有舍入到最近舍入模式（相当安全），则第一和的精确值为：

0.600000000000000088817841970012523233890533447265625

0.59999999999999997779553950749686919152736663818359375

计算并显示15个（或更少）正确舍入的有效数字。这具有隐藏十进制到二进制转换所涉及的错误的效果，给人一种精确十进制算术的错觉。它的缺点是不同的浮点可以具有相同的表示形式。这似乎是R正在做的事情。（感谢@Hadley在评论中指出，有一个R设置来控制用于显示的位数；默认值是使用7个有效数字。）