浮点运算

Question

我阅读关于浮点和舍入在浮点算术期间发生的错误。

我读了很多关于IEEE754单精度/双精度格式的文章。我知道有符号位、8（或）11位指数和23（或）52位有效位以及隐式前导位。

我也知道分母不是质因数2的实数不能完全表示，例如二进制中的0.1是0.0001100110011......

我知道0.1 0.1 0.1不等于0.3，因为舍入误差的累积。

同样，0.5也可以用二进制格式表示，因为它是1/2。但我不明白，鉴于上述舍入误差的累积，为什么0.10.1 0.1 0.1 0.1=0.5？

Answer 1

双精度中的0.1是二进制中的0.00011001101。让我们逐步了解二进制加法，看看发生了什么：

  0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
+
  0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
-----------------------------------------------------------
  0.001100110011001100110011001100110011001100110011001101   (52 sig bits -- OK)
+
  0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
-----------------------------------------------------------
  0.0100110011001100110011001100110011001100110011001100111  (54 sig bits -- must round to 53)
  0.0100110011001100110011001100110011001100110011001101     (rounded up)
+
  0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
-----------------------------------------------------------
  0.0110011001100110011001100110011001100110011001100110101  (54 sig bits -- must round to 53)
  0.01100110011001100110011001100110011001100110011001101    (rounded down)
+
  0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
-----------------------------------------------------------
  0.1000000000000000000000000000000000000000000000000000001 (55 sig bits -- must round to 53)
  0.1                                                       (rounded down)

因此，仅仅是由于圆形的累积，0.1乘以5就变成了0.5。

（这些值来自二进制转换器、二进制计算器和浮点转换器。）

Answer 2

在IEEE754四舍五入到最接近的偶数模式中，您有一些很好的特性
首先，对于任何有限浮点x和n

然后还有（2^n1）x==2^nx
（只要2^n1是可精确表示的，n

有了这些房产，你就有了

• 0.1 0.1==2*0.1
• 0.1 0.1 0.1 == 3*0.1
• 0.1 0.1 0.1 0.1 == 4*0.1
• 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 == 5*0.1

这还不够，因为在这个阶段，0.1并不完全是1/10，所以没有任何证据证明5*0.1 == 0.5。
例如3*0.1 != 0.3和5*0.3 != 0.15。

所以在这里，这只是运气，四舍五入的误差确实消失了，而不是累积
（n*0.1==n/10.0）对于从1到100的整数n，在100个整数中有65个为真（对于该区间中2的7次幂始终为真）。