浮点运算的结果如何舍入？

Question

我写了这段代码，它只是对n个数字的列表进行求和，以练习浮点运算，但我不明白这一点：

我正在使用float，这意味着我有7位精度，因此，如果我执行10002*10002=100040004的操作，数据类型float的结果将是100040000.000000，因为我丢失了第7位以外的任何数字（程序仍然知道指数，如图所示）。

如果此程序中的输入是

3
10000
10001
10002

然而，您将看到，当这个程序计算30003*30003=900180009时，我们得到了30003*30003=900180032.000000

我理解这个32出现是因为我正在使用浮点数，我的目标不是让程序更精确，而是理解为什么会发生这种情况。为什么它900180032.000000而不是900180000.000000？为什么这个十进制噪声（32）出现在30003*30003而不是10002*10002，即使数字的大小相同？谢谢你的时间。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define MAX_SIZE 200


int main() 
{
int numbers[MAX_SIZE]; 
int i, N;
float sum=0;
float sumb=0;
float sumc=0;

printf("introduce n" );
scanf("%d", &N);

printf("write %d numbers:\n", N);
for(i=0; i<N; i++)
{
    scanf("%d", &numbers[i]);
}

int r=0;

while (r<N){
    sum=sum+numbers[r];
    sumb=sumb+(numbers[r]*numbers[r]); 
    printf("sum is %f\n",sum);
    printf("sumb is %f\n",sumb);
    r++;
}
sumc=(sum*sum);
printf("sumc is %f\n",sumc);
}

Answer 1

浮点运算是用二进制而不是十进制完成的。

浮点数实际上有24个二进制精度位，其中1个是符号位，23个称为显位。这将转换为大约7个十进制精度。

您正在查看的数字900180032已经是9位数字，因此最后两位数字（32）可能是错误的是有道理的。像算术一样的舍入是用二进制完成的，舍入差异的原因只能在您将事物分解为二进制时才能看出。

900180032 = 110101101001111010100001000000

900180000 = 110101101001111010100000100000

如果从这些数字中的第一个1到最后一个1进行计数（我用粗体显示的部分），这就是存储数字所需的有效位数。900180032只需要23个有效位来存储，而900180000需要24个有效位，这使得900180000是一个不可能存储的数字，因为浮点只有23个有效位。900180032是最接近正确答案900180009的数字，浮点数可以存储该数字。

在另一个示例中

100040000=101111101100111110101000000

100040004 = 101111101100111110101000100

正确答案是100040004有25个有效位，对于浮点来说太多了。具有23个或更少有效位的最近数字是10004000，其中只有21个有效位。

有关浮点运算的更多信息，请尝试此处http://steve.hollasch.net/cgindex/coding/ieeefloat.html

Answer 2

如下所述，10002乘以10002的计算结果必须是8的倍数，30003乘以30003的计算结果必须是64的倍数，这是由于数字的大小和可用于表示它们的位数。虽然您的问题是关于“十进制噪音”，但这里没有涉及十进制数字。结果完全是由于四舍五入到二的幂的倍数。（您的C实现似乎对二进制浮点使用通用IEEE 754格式。）

将10002乘以10002时，计算结果必须是8的倍数。我将在下面解释原因。数学结果为100040004。8的最接近倍数为100040000和100040008。它们与精确结果相差同样远，用于打破关系的规则选择偶数倍（100040000是8乘以12505000，是偶数，而100040008是8乘以12505001，是奇数）。

许多C实现使用IEEE 754 32位基本二进制浮点来实现浮动。在这种格式中，数字表示为整数M乘以2的幂2^e。整数M的大小必须小于2²⁴。指数e可以从−149到104。这些限制来自用于表示整数和指数的位数。

因此，此格式中的所有浮动值对于某些M和某些e都具有值M 2^e。格式中没有十进制数字，只有一个整数乘以2的幂。

考虑数字100040004。我们可以使用的最大M是16777215（2^{24−1） 。这还不够大，我们无法将100040004写为M•2。所以我们必须增加指数。即使有2，我们能得到的最大值也是16777215•2=67108860。因此，我们必须使用23。这就是为什么在这种情况下，计算结果必须是8的倍数。}

因此，为了在浮动中生成10,002 10,002的结果，计算机使用12,505,000 2³，这是100,040,000。

在30003•30003中，结果必须是64的倍数。准确的结果是900180009。2⁵是不够的，因为16777215•2⁵是536870880。所以我们需要2，也就是64。最接近64的两个倍数是900179968和900180032。在这种情况下，后者更近（23比41），因此选择它。

（虽然我已经将格式描述为整数乘以二的幂，但也可以将其描述为一个二进制数字，在小数点之前有一个二进制数字，后面有23个二进制数字，并调整指数范围以进行补偿。这些在数学上是等效的。IEEE 754标准使用后一种描述。教科书可能使用前一种描述，因为它可以分析som数值特性的e更容易。）