2. 不同进制之间的换算

2. 不同进制之间的换算

在十进制中，个位的1代表10⁰=1，十位的1代表10¹=10，百位的1代表10²=100，所以

123=1×10²+2×10¹+3×10⁰

同样道理，在二进制中，个位的1代表2⁰=1，十位的1代表2¹=2，百位的1代表2²=4，所以

(A₃A₂A₁A₀)₂=A₃×2³+A₂×2²+A₁×2¹+A₀×2⁰

如果二进制和十进制数出现在同一个等式中，为了区别我们用(A₃A₂A₁A₀)₂这种形式表示A₃A₂A₁A₀是二进制数，每个数字只能是0或1，其它没有套括号加下标的数仍表示十进制数。对于(A₃A₂A₁A₀)₂这样一个二进制数，最左边的A₃位称为最高位（MSB，Most Significant Bit），最右边的A₀位称为最低位（LSB，Least Significant Bit）。以后我们遵循这样的惯例：LSB称为第0位而不是第1位，所以如果一个数是32位的，则MSB是第31位。上式就是从二进制到十进制的换算公式。作为练习，请读者算一下(1011)₂和(1111)₂换算成十进制分别是多少。

下面来看十进制怎么换算成二进制。我们知道

13=1×2³+1×2²+0×2¹+1×2⁰

所以13换算成二进制应该是(1101)₂。问题是怎么把13分解成等号右边的形式呢？注意到等号右边可以写成

13=((((0×2+1₃)×2+1₂)×2+0₁)×2+1₀

我们将13反复除以2取余数就可以提取出上式中的1101四个数字，为了让读者更容易看清楚是哪个1和哪个0，上式和下式中对应的数字都加了下标：

13÷2=6...1₀
6÷2=3...0₁
3÷2=1...1₂
1÷2=0...1₃

把这四步得到的余数按相反的顺序排列就是13的二进制表示，因此这种方法称为除二反序取余法。

计算机用二进制表示数，程序员也必须习惯使用二进制，但二进制写起来太啰嗦了，所以通常将二进制数分成每三位一组或者每四位一组，每组用一个数字表示。比如把(10110010)₂从最低位开始每三位分成一组，10、110、010，然后把每组写成一个十进制数字，就是(262)₈，这样每一位数字的取值范围是0~7，逢八进一，称为八进制（Octal）。类似地，把(10110010)₂分成每四位一组，1011、0010，然后把每组写成一个数字，这个数的低位是2，高位已经大于9了，我们规定用字母A~F表示10~15，这个数可以写成(B2)₁₆，每一位数字的取值范围是0~F，逢十六进一，称为十六进制（Hexadecimal）。所以，八进制和十六进制是程序员为了书写二进制方便而发明的简便写法，好比草书和正楷的关系一样。

习题

1、二进制小数可以这样定义：

(0.A₁A₂A₃...)₂=A₁×2^-1+A₂×2^-2+A₃×2^-3+...

这个定义同时也是从二进制小数到十进制小数的换算公式。从本节讲的十进制转二进制的推导过程出发类比一下，十进制小数换算成二进制小数应该怎么算？

2、再类比一下，八进制（或十六进制）与十进制之间如何相互换算？