3. 布尔代数

3. 布尔代数

在第 1 节 “if语句”讲过，a<b<c不表示b既大于a又小于c，那么如果想表示这个含义该怎么写呢？可以这样：

if (a < b) {
	if (b < c) {
		printf("b is between a and c.\n");
	}
}

我们也可以用逻辑与（Logical AND）运算符表示这两个条件同时成立。逻辑与运算符在C语言中写成两个&号（Ampersand），上面的语句可以改写为：

if (a < b && b < c) {
	printf("b is between a and c.\n");
}

对于a < b && b < c这个控制表达式，要求“a < b的值非0”和“b < c的值非0”这两个条件同时成立整个表达式的值才为1，否则整个表达式的值为0。也就是只有两个条件都为真，它们做逻辑与运算的结果才为真，有一个条件为假，则逻辑与运算的结果为假，如下表所示：

表 4.2. AND的真值表

这种表称为真值表（Truth Table）。注意逻辑与运算的操作数以非0表示真以0表示假，而运算结果以1表示真以0表示假（类型是int），我们忽略这些细微的差别，在表中全部以1表示真以0表示假。C语言还提供了逻辑或（Logical OR）运算符，写成两个|线（Pipe Sign），逻辑非（Logical NOT）运算符，写成一个!号（Exclamation Mark），它们的真值表如下：

表 4.3. OR的真值表

表 4.4. NOT的真值表

逻辑或表示两个条件只要有一个为真，它们做逻辑或运算的结果就为真，只有两个条件都为假，逻辑或运算的结果才为假。逻辑非的作用是对原来的逻辑值取反，原来是真的就是假，原来是假的就是真。逻辑非运算符只有一个操作数，称为单目运算符（Unary Operator），以前讲过的加减乘除、赋值、相等性、关系、逻辑与、逻辑或运算符都有两个操作数，称为双目运算符（Binary Operator）。

关于逻辑运算的数学体系称为布尔代数（Boolean Algebra），以它的创始人布尔命名。在编程语言中表示真和假的数据类型叫做布尔类型，在C语言中通常用int型来表示，非0表示真，0表示假^[6]。布尔逻辑是写程序的基本功之一，程序中的很多错误都可以归因于逻辑错误。以下是一些布尔代数的基本定理，为了简洁易读，真和假用1和0表示，AND用*号表示，OR用+号表示（从真值表可以看出AND和OR运算确实有点像乘法和加法运算），NOT用¬表示，变量x、y、z的值可能是0也可能是1。

¬¬x=x

x*0=0
x+1=1

x*1=x
x+0=x

x*x=x
x+x=x

x*¬x=0
x+¬x=1

x*y=y*x
x+y=y+x

x*(y*z)=(x*y)*z
x+(y+z)=(x+y)+z

x*(y+z)=x*y+x*z
x+y*z=(x+y)*(x+z)

x+x*y=x
x*(x+y)=x

x*y+x*¬y=x
(x+y)*(x+¬y)=x

¬(x*y)=¬x+¬y
¬(x+y)=¬x*¬y

x+¬x*y=x+y
x*(¬x+y)=x*y

x*y+¬x*z+y*z=x*y+¬x*z
(x+y)*(¬x+z)*(y+z)=(x+y)*(¬x+z)

除了第1行之外，这些公式都是每两行一组的，每组的两个公式就像对联一样：把其中一个公式中的*换成+、+换成*、0换成1、1换成0，就变成了与它对称的另一个公式。这些定理都可以通过真值表证明，更多细节可参考有关数字逻辑的教材，例如[数字逻辑基础]。我们将在本节的练习题中强化训练对这些定理的理解。

目前为止介绍的这些运算符的优先级顺序是：!高于* / %，高于+ -，高于> < >= <=，高于== !=，高于&&，高于||，高于=。写一个控制表达式很可能同时用到这些运算符中的多个，如果记不清楚运算符的优先级一定要多套括号。我们将在第 4 节 “运算符总结”总结C语言所有运算符的优先级和结合性。

习题

1、把代码段

if (x > 0 && x < 10);
else
	printf("x is out of range.\n");

改写成下面这种形式：

if (____ || ____)
	printf("x is out of range.\n");

____应该怎么填？

2、把代码段：

if (x > 0)
	printf("Test OK!\n");
else if (x <= 0 && y > 0)
	printf("Test OK!\n");
else
	printf("Test failed!\n");

改写成下面这种形式：

if (____ && ____)
	printf("Test failed!\n");
else
	printf("Test OK!\n");

____应该怎么填？

3、有这样一段代码：

if (x > 1 && y != 1) {
	...
} else if (x < 1 && y != 1) {
	...
} else {
	...
}

要进入最后一个else，x和y需要满足条件____ || ____。这里应该怎么填？

4、以下哪一个if判断条件是多余的可以去掉？这里所谓的“多余”是指，某种情况下如果本来应该打印Test OK!，去掉这个多余条件后仍然打印Test OK!，如果本来应该打印Test failed!，去掉这个多余条件后仍然打印Test failed!。

if (x<3 && y>3)
	printf("Test OK!\n");
else if (x>=3 && y>=3)
	printf("Test OK!\n");
else if (z>3 && x>=3)
	printf("Test OK!\n");
else if (z<=3 && y>=3)
	printf("Test OK!\n");
else
	printf("Test failed!\n");

^[6] C99也定义了专门的布尔类型_Bool，但目前没有被广泛使用。