5.2.1 Dynamic Programming

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小牛编辑

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2023-12-01

一、动态规划

动态规划的本质，是对问题状态的定义和状态转移方程的定义。

dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.

动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。

以下介绍，大多都是在说递推的求解方法，但如何拆分问题，才是动态规划的核心。

而拆分问题，靠的就是状态的定义和状态转移方程的定义。

首先想说大家千万不要被下面的数学式吓到，这里只涉及到了函数相关的知识。

给定一个数列，长度为N，求这个数列的最长上升（递增）子数列（LIS）的长度. 以 1 7 2 8 3 4 为例。这个数列的最长递增子数列是 1 2 3 4，长度为4；次长的长度为3，包括 1 7 8; 1 2 3 等.

要解决这个问题，我们首先要定义这个问题和这个问题的子问题。有人可能会问了，题目都已经在这了，我们还需定义这个问题吗？需要，原因就是这个问题在字面上看，找不出子问题，而没有子问题，这个题目就没办法解决。

给定一个数列，长度为N，设 $F_{k}$ 为：以数列中第k项结尾的最长递增子序列的长度. 求 $F_{1}..F_{N}$ 中的最大值.

显然，这个新问题与原问题等价。而对于 $F_{k}$ 来讲， $F_{1} .. F_{k-1}$ 都是 $F_{k}$ 的子问题：因为以第k项结尾的最长递增子序列（下称LIS），包含着以第 1..k-1 中某项结尾的LIS。

上述的新问题 $F_{k}$ 也可以叫做状态，定义中的“ $F_{k}$ 为数列中第k项结尾的LIS的长度”，就叫做对状态的定义。之所以把 $F_{k}$ 做“状态”而不是“问题” ，一是因为避免跟原问题中“问题”混淆，二是因为这个新问题是数学化定义的。

对状态的定义只有一种吗？当然不是

给定一个数列，长度为N，设$F{i,k}$为：在前i项中的，长度为k的最长递增子序列中，最后一位的最小值. 1<=k<=N. 若在前i项中，不存在长度为k的最长递增子序列，则$F{i,k}$为正无穷. 求最大的x，使得$F_{N,k}$不为正无穷。

这个新定义与原问题的等价性也不难证明，请读者体会一下。上述的$F{i,k}$就是状态，定义中的“$F{i,k}$为：在前i项中，长度为k的最长递增子序列中，最后一位的最小值”就是对状态的定义。

上述状态定义好之后，状态和状态之间的关系式，就叫做状态转移方程。

设 $F_{k}$ 为：以数列中第k项结尾的最长递增子序列的长度.

设A为题中数列，状态转移方程为：

用文字解释一下是：

以第k项结尾的LIS的长度是：保证第i项比第k项小的情况下，以第i项结尾的LIS长度加一的最大值，取遍i的所有值（i小于k）。

第二种定义：

设$F_{i,k}$为：在数列前i项中，长度为k的递增子序列中，最后一位的最小值

设A为题中数列，状态转移方程为：

（边界情况需要分类讨论较多，在此不列出，需要根据状态定义导出边界情况。）

大家套着定义读一下公式就可以了，应该不难理解，就是有点绕。

这里可以看出，这里的状态转移方程，就是定义了问题和子问题之间的关系。

可以看出，状态转移方程就是带有条件的递推式。

本部分内容整理一些LeetCode中关于动态规划的常见问题及Java解决方案，供大家学习动态规划。