自动求梯度

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小牛编辑

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2023-12-01

在深度学习中，我们经常需要对函数求梯度（gradient）。本节将介绍如何使用MXNet提供的autograd模块来自动求梯度。如果对本节中的数学概念（如梯度）不是很熟悉，可以参阅附录中“数学基础”一节。

from mxnet import autograd, nd

简单例子

我们先看一个简单例子：对函数 $y = 2\boldsymbol{x}^{\top}\boldsymbol{x}$ 求关于列向量 $\boldsymbol{x}$ 的梯度。我们先创建变量x，并赋初值。

x = nd.arange(4).reshape((4, 1))
x

为了求有关变量x的梯度，我们需要先调用attach_grad函数来申请存储梯度所需要的内存。

x.attach_grad()

下面定义有关变量x的函数。为了减少计算和内存开销，默认条件下MXNet不会记录用于求梯度的计算。我们需要调用record函数来要求MXNet记录与求梯度有关的计算。

with autograd.record():
    y = 2 * nd.dot(x.T, x)

由于x的形状为（4, 1），y是一个标量。接下来我们可以通过调用backward函数自动求梯度。需要注意的是，如果y不是一个标量，MXNet将默认先对y中元素求和得到新的变量，再求该变量有关x的梯度。

y.backward()

函数 $y = 2\boldsymbol{x}^{\top}\boldsymbol{x}$ 关于$\boldsymbol{x}$ 的梯度应为$4\boldsymbol{x}$。现在我们来验证一下求出来的梯度是正确的。

assert (x.grad - 4 * x).norm().asscalar() == 0
x.grad

训练模式和预测模式

从上面可以看出，在调用record函数后，MXNet会记录并计算梯度。此外，默认情况下autograd还会将运行模式从预测模式转为训练模式。这可以通过调用is_training函数来查看。

print(autograd.is_training())
with autograd.record():
    print(autograd.is_training())

在有些情况下，同一个模型在训练模式和预测模式下的行为并不相同。我们会在后面的章节详细介绍这些区别。

对Python控制流求梯度

使用MXNet的一个便利之处是，即使函数的计算图包含了Python的控制流（如条件和循环控制），我们也有可能对变量求梯度。

考虑下面程序，其中包含Python的条件和循环控制。需要强调的是，这里循环（while循环）迭代的次数和条件判断（if语句）的执行都取决于输入a的值。

def f(a):
    b = a * 2
    while b.norm().asscalar() < 1000:
        b = b * 2
    if b.sum().asscalar() > 0:
        c = b
    else:
        c = 100 * b
    return c

我们像之前一样使用record函数记录计算，并调用backward函数求梯度。

a = nd.random.normal(shape=1)
a.attach_grad()
with autograd.record():
    c = f(a)
c.backward()

我们来分析一下上面定义的f函数。事实上，给定任意输入a，其输出必然是 f(a) = x * a的形式，其中标量系数x的值取决于输入a。由于c = f(a)有关a的梯度为x，且值为c / a，我们可以像下面这样验证对本例中控制流求梯度的结果的正确性。

a.grad == c / a

小结

MXNet提供autograd模块来自动化求导过程。
MXNet的autograd模块可以对一般的命令式程序进行求导。
MXNet的运行模式包括训练模式和预测模式。我们可以通过autograd.is_training()来判断运行模式。

练习

在本节对控制流求梯度的例子中，把变量a改成一个随机向量或矩阵。此时计算结果c不再是标量，运行结果将有何变化？该如何分析该结果？
重新设计一个对控制流求梯度的例子。运行并分析结果。