【深入理解计算机系统】如何表示最大、最小的整数

最大、最小整数的二进制表示

深入了解数字的二进制表示，请查看：【深入理解计算机系统】第 2 章：信息的处理与表示

计算机中的数字表示分为无符号数与有符号数。以 32 位整数为例，对于无符号数，最小值自然是所有位全为 0，写成十六进制即 0x00000000；最大值是所有位全为 1，写成十六进制即 0xffffffff，相当于 $2^{32}-1$ == 4294967295。

对于有符号数，最高位是符号位。符号位为 0 表示正数，为 1 表示负数。因此有符号数的最大值是“符号位为 0、剩余位全 1”的正数，写成十六进制即 0x7fffffff，相当于 $2^{31}-1$ == 2147483647。

0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 # 二进制
7    f    f    f    f    f    f    f    # 十六进制

有符号数的最小值是“符号位为 1、剩余位全 0”的负数，写成十六进制即 0x80000000，相当于 $-2^{31}$ == -2147483648。

为什么有符号数的最小值是这样表示呢？简而言之，无符号数的每一位都是正权值，而有符号数则不同，其符号位是负权值，剩余位是正权值。所以有符号数中，让符号位为 1、剩余位 全 0，就能得到最小的负数 0x800000000；让每一位都为 1，就能得到最大的负数 -1 == 0xffffffff。更多内容请阅读这篇文章。

总结

将无符号数、有符号数的最大值、最小值分别记为：UMax/UMin，TMax/TMin，可以看到有这样的关系：

TMin == -TMax - 1

在编程语言中表示最大、最小整数

这一节，我们以 C 语言和 Golang 为例，描述如何在编程语言中表示最大、最小整数。

C 语言（32位）

无符号数的最大、最小值：

unsigned int UMin = 0;

unsigned int UMax = ~0; // 1. 取反，让每一位为 1
unsigned int UMax = 0xffffffff; // 2. 或者直接写出十六进制补码表示

测试：

printf("%#x, %u\n", UMin, UMin);
printf("%#x, %u\n", UMax, UMax);

输出：

0, 0
0xffffffff, 4294967295

有符号数的最大、最小值：

int TMin = -TMax - 1; // 1. TMin = -TMax - 1
int TMin = 1 << 31; // 2. 移位。写成 -1 << 31 也可以，取决于编译器版本
int TMin == 0x80000000; // 3. 直接写出十六进制补码表示

int TMax = ~TMin; // 1. 将 TMin 每一位取反
int TMax = 0x7fffffff; // 2. 直接写出十六进制补码表示

测试：

printf("%#x, %d\n", TMin, TMin);
printf("%#x, %d\n", TMax, TMax);

输出：

0x80000000, -2147483648
0x7fffffff, 2147483647

Go 语言（32位）

无符号数的最大、最小值：

var UMin uint32 = 0

var UMax uint32 = ^uint32(0)
var UMax uint32 = 0xffffffff

测试：

fmt.Printf("%#x, %d\n", UMin, UMin)
fmt.Printf("%#x, %d\n", UMax, UMax)

输出：

0x0, 0
0xffffffff, 4294967295

有符号数的最大、最小值：

var TMax int32 = 1 << 31 - 1
var TMax int32 = int32(UMax >> 1) 

var TMin int32 = -TMax - 1 
var TMin int32 = -1 << 31 // -(1 << 31) 也可以
var TMin int32 = -0x80000000 // 要加负号

测试：

fmt.Printf("%#x, %d\n", TMin, TMin)
fmt.Printf("%#x, %d\n", TMax, TMax)

输出：

0x80000000, -2147483648
0x7fffffff, 2147483647

深入了解

细心的读者会观察到，在 C 语言和 Go 语言中，表示 TMin 的方法有微妙的不同：

int TMin == 0x80000000 // C
var TMin int32 = -0x80000000 // Go

为什么 C 语言可以直接用 0x80000000 表示 TMin，而 Go 需要多加一个负号呢？实际上，这是因为 C 语言中，将一个无符号数赋给有符号数，会发送隐式类型转换。无符号数到有符号数的类型转换，不会改变数的位级表示，只是会换一种解释方法。而 Go 语言不会隐式转换，必须显示转换类型。

首先，无论是 C 还是 Go，在编译阶段，编译器都会将十六进制常量解释为一个无符号数，因此 0x80000000 相当于无符号数 2147483648。

C 语言中，由于会发生隐式类型转换，因此下面的代码会直接将 0x80000000 的二进制解释为补码，故变量 TMin 的值等于 -2147483648：

int TMin == 0x80000000;

但是 Go 语言不会做隐式类型转换，编译器会先将 0x80000000 看作 2147483648，然后尝试使用一个 int32 类型的变量来表示这个值。显然，这个「正数」超出了 32 位 int 的表示范围，因此下面的代码会直接报错：

var TMin int32 = 0x80000000 // Error: 0x80000000 (untyped int constant 2147483648) overflows int32

而 -0x80000000 在编译阶段会被视为 -2147483648，这个数在 32 位 int 的表示范围内，因此下面的代码不会报错：

var TMin int32 = -0x80000000

在 Go 语言中，将无符号数转换为有符号数时，同样不会改变数的位级表示，只是使用补码来解释：

var UMax uint32 = 0x80000000
fmt.Println(UMax == 2147483648) // => true
var TMin int32 = int32(UMax) // 显式类型转换
fmt.Println(TMin == -2147483648) // => true

所以 int(UMax) 也是 Go 语言中表示 TMin 的一种方法。

参考资料：

• C语言中TMin的写法