Section-4 TreeDP 第4节 树形动规 - TraverseBinaryTreeDP 遍历二叉树动规
问题
在一个二叉树上，从任意节点 i 到达另一个任意节点 j 的路线是唯一的。假设该二叉树上的每个节点都是一个牧场，而每个牧场中都有一只奶牛，节点 i 的奶牛拥有一个权值，为 vi ，奶牛会在二叉树上游荡，但它游荡的位置不超过一个距离，为 Dist 。节点 i 的牧场上拥有的奶牛数量并不固定，可能拥有 0 只奶牛，那么节点 i 拥有的权值为 0 ；可能拥有 n 只奶牛，那么节点 i 拥有的权值为这 n 只奶牛的权值之和，即 sum{1}^{n} v_k （其中 k in [1,n] ）。求出所有节点中权值最大的节点的权值。
对于下图中的二叉树，每个节点的标号为上面的数字，权值为下面的数字。但奶牛游荡的距离为 1 时，会拥有最大权值的节点为节点 5 ，最大权值为 51 = 6+7+14+24 ，即节点 3 、 5 、 16 、 17 的权值之和：
本问题的原型为USACO Mar 2008 “Cow Travelling”（游荡的奶牛）。
解法
问题中的示例是一种最简单的情况，即游荡距离为 1 ，这时节点 i 的最大权值即为该节点与所有相邻节点的权值之和。当游荡距离增大，节点 i 的最大权值为所有到该节点的距离不超过 Dist 的节点的权值之和，即 sum_{1}^{n} v_k （其中 n 为所有节点的数量， k 节点的权值为 v_k ）。
节点 i 可以到达二叉树的向上和向下 Dist 层的所有节点，如图：
对于节点 4 的奶牛，当其 Dist = 2 ，则向上可以到达节点 2 、 1 ；向下可以到达 7 、 8 、 20 、 21 、 22 、 23 。
(1) 向上可达的所有节点的权值和：
设 up(i,j) 为游荡距离为 j 的节点 i ，向上可以到达的所有节点的权值之和，则有 up(i,j) = up(fatheri,j-1)+v{father-i} ，即游荡距离为 j 的节点 i ，其向上可达的权值和，等于游荡距离为 j-1 的父节点 father_i 的向上可达的权值和与父节点自己的权值之和。在上图中可以看出，游荡距离为 2 的节点 4 ，其向上权值和 up(4,2) ，恰好等于游荡距离为 1 的节点 2 的向上权值和与节点 2 的权值之和，即 up(4,2) = up(2,1)+v_2 。
对于游荡距离为 0 的节点 i ，其向上权值和为 up(i,0) = 0 。
(2) 向下可达的所有节点的权值和：
设 down(i,j) 为游荡距离为 j 的节点 i ，向下可以到达的所有节点的权值之和，则有 down(i,j) = down(leftChildi,j-1)+down(rightChild_i,j-1)+v{leftChild-i}+v_{rightChild-i} ，即游荡距离为 j 的节点 i ，其向下可达的权值和，等于游荡距离为 j-1 的左右孩子节点 leftChild_i 和 rightChild_i 的向下可达权值和，与左右孩子节点自己的权值的总和。在上图中可以看出，游荡距离为 2 的节点 4 ，其向下权值和 down(4,2) ，恰好等于游荡距离为 1 的节点 7 、 8 的向下权值和，与节点 7 、 8 的权值的总和，即 down(4,2) = down(7,1)+down(8,1)+v_7+v_8 。
对于游荡距离为 0 的节点 i ，其向下权值和为 down(i,0) = 0 。
根据 (1) 和 (2) 两个部分，可以得出游荡距离为 j 的节点 i 的最大权值 f(i,j) = up(i,j)+down(i,j)+v_i 。
最终在所有 f(i,j) 中选择最大值作为返回结果（其中 i,j in [0,n) ）。该算法的时间复杂度是 O(n^2) 。