Section-2 KnapsackDP 第2节 背包问题 - GroupKnapsack 分组背包

问题

你面前摆放着 n 个珠宝（共 n 种，每种 1 个），这些珠宝被分成 m 个组（显然 n geq m ）。已知珠宝 s_i 的价值是 v_i ，重量是 w_i 。给你一个背包，你可以挑选珠宝装到背包中，但背包可以装载的最大重量为 t ，并且同一个组的珠宝至多只能选择 1 个。求背包能够装载珠宝的最大价值 v 。

该问题与01背包的区别就是，对珠宝进行了分组，并且一个组内的珠宝互斥。

解法

设 f(i,j) 为背包中放入前 i 组物品，重量不大于 j 的最大价值，其中 i in [1,m] ， j in [0,t] 。第 i 组中有 group_{i} 个珠宝，其中某珠宝 k 的价值是 v_k ，重量是 w_k 。则有如下状态转移方程：

f(i,j) =
begin{cases}
0 & (初始化)i = 0
f(i-1,j) & i,j gt 0
max(f(i-1,j),f(i-1,j - w_k ) + v_k) & i,j gt 0,k in [1,group_i],j geq w_k
end{cases}

(1) 用数组中的下标 0 来存储初始的固定值，背包中没有放入任何珠宝时， f(0,j) = 0 ；

(2) 对于第 i 组珠宝，背包的剩余重量（还能装载的重量）为 w ，在第 i 组珠宝中选择某个珠宝 k ，若 w geq w_k ，那么可以装进珠宝 k ，背包的价值增大 v_k ，剩余重量减小 w_k ，即 f(i,j) = f(i-1,j - w_k) + v_k ；若不装入背包，则一切维持不变，即 f(i,j) = f(i-1,j) 。选择这两种情形中的最大值；

f(m,t) 即为 m 组珠宝中重量不超过 t 的最大价值。该算法的时间复杂度是 O(n times t) 。