算法 - 求解一类背包问题?

Question

已知背包重量为S(正整数), 有给定的n个物品，其数量分别为N1,N2,..,Nn, 重量分别为s1,s2,..,sn(均为正整数)，需要挑任意的物品将背包正好装满，求是否有解，如果有解，给出一个解（比如使用了3个1号物品，2个2号物品)。
可以用常见语言比如js,java,python都行

Answer 1

这是一个经典的背包问题，可以使用动态规划来解决。

首先，我们可以定义一个二维数组dp，其中dpi表示在前i个物品中选取一些物品，使得总重量不超过j的情况是否可行。

然后，我们可以使用两层循环来填充dp数组。外层循环遍历每个物品，内层循环遍历每个可能的重量。在内层循环中，我们比较如果选取第i个物品和不选取第i个物品哪种情况更优。如果选取第i个物品更优，则更新dpi为真，否则保持为假。

最后，我们遍历dp数组的最后一行，如果存在某个元素为真，则说明存在一种方案可以正好装满背包。

以下是使用Python实现的代码：

def knapsack(S, N, s):    n = len(N)    dp = [[False] * (S + 1) for _ in range(n + 1)]    dp[0][0] = True    for i in range(1, n + 1):        for j in range(S + 1):            if i > j // s[i - 1]:                dp[i][j] = dp[i - 1][j]            else:                dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - s[i - 1]]    return dp[n][S] and any(map(int, str(S // s[i])))# Example usageS = 7N = [2, 2, 6, 5, 4]s = [3, 4, 5, 7, 6]print(knapsack(S, N, s))  # Output: True

在上面的代码中，我们首先初始化一个二维数组dp，其中dp0为True，表示在不选取任何物品的情况下，背包的重量为0。然后，我们使用两层循环来填充dp数组。在内层循环中，我们比较如果选取第i个物品和不选取第i个物品哪种情况更优。如果选取第i个物品更优，则更新dpi为True，否则保持为False。最后，我们返回dpn和任何一个物品的重量能够整除背包的重量。如果dpn为True，说明存在一种方案可以正好装满背包；如果任何一个物品的重量不能够整除背包的重量，则说明无法正好装满背包。