Section-2 KnapsackDP 第2节 背包问题 - TwoDimensionKnapsack 二维背包

问题

你面前摆放着 n 个珠宝（共 n 种，每种 1 个），已知珠宝 s_i 的价值是 v_i ，重量 1 是 w1_i ，重量 2 是 w2_i 。给你一个背包，你可以自由挑选珠宝装到背包中，但背包可以装载的最大重量 1 为 t1 ，最大重量 2 为 t2 。求背包能够装载珠宝的最大价值 v 。

该问题与01背包的区别就是，重量属性变成了 2 维属性，背包中所有珠宝的总重量 1 不能超过 t1 ，总重量 2 不能超过 t2 。

解法

设 f(i,j,k) 为背包中放入前 i 件物品，重量 1 不大于 j ，重量 2 不大于 k 的最大价值，其中 i in [1,n] ， j in [0,t1] ， k in [0,t2] 。有如下状态转移方程：

f(i,j,k) =
begin{cases}
0 & (初始化)i = 0
f(i-1,j,k) & i,j,k gt 0
max{f(i-1,j,k),f(i-1,j-w1_i,k-w2_i)+v_i} & i,j,k gt 0,j geq w1_i,k geq w2_i
end{cases}

用数组中的下标 0 来存储初始的固定值，背包中没有放入任何珠宝时， f(0,j) = 0 ；

对于第 i 件珠宝 s_i ，背包的剩余重量 1 （还能装载的重量）为 w1 ，剩余重量 2 为 w2 ，若 w1 geq k times w1_i ， w2 geq k times w2_i ，那么可以装进 1 个珠宝 s_i ，背包的价值增大 v_i ，剩余重量 1 减小 w1_i ，剩余重量 2 减小 w2_i 。即 f(i,j,k) = f(i-1,j-w1_i,k-w2_i)+v_i ；若不装入背包，则一切维持不变，即 f(i,j,k) = f(i-1,j,k) 。选择这两种情形中的最大值；

f(n,t1,t2) 即为 n 个珠宝中重量 1 不超 t1 ，重量 2 不超过 t2 的最大价值。该算法的时间复杂度是 O(n times t1 times t2) 。