Section-2 KnapsackDP 第2节 背包问题 - ZeroOneKnapsack 01背包

问题

你面前摆放着 n 个珠宝（共 n 种，每种 1 个），已知珠宝 s_i 的价值是 v_i ，重量是 w_i 。给你一个背包，你可以自由挑选珠宝装到背包中，但背包可以装载的最大重量为 t 。求背包能够装载珠宝的最大价值 v 。

解法

设 f(i,j) 为背包中放入前 i 件物品，重量不大于 j 的最大价值，其中 i in [1,n] ， j in [0,t] 。有如下状态转移方程：

f(i,j) =
begin{cases}
0 & (初始化)i = 0
f(i-1,j) & i,j gt 0,j lt w_i
max(f(i-1,j),f(i-1,j-w_i)+v_i) & i,j gt 0,j geq w_i
end{cases}

(1) 用数组中的下标 0 来存储初始的固定值，背包中没有放入任何珠宝时， f(0,j) = 0 ；

(2) 对于第 i 件珠宝 s_i ，若背包中还能够装载的重量大于 w_i ，那么装入背包，则价值增大 v_i ，剩余重量（还能装载的重量）减小 w_i ，即 f(i,j) = f(i-1,j-w_i)+v_i ；若不装入背包，则一切维持不变，即 f(i,j) = f(i-1,j) 。选择这两种情形中的最大值；

f(n,t) 即为 n 个珠宝中重量不超过 t 的最大价值。该算法的时间复杂度是 O(n times t) 。