“不给力啊，老湿！”：RSA加密与破解
加密和解密是自古就有技术了。经常看到侦探电影的桥段，勇敢又机智的主角，拿着一长串毫无意义的数字苦恼，忽然灵光一闪，翻出一本厚书，将第一个数字对应页码数，第二个数字对应行数，第三个数字对应那一行的某个词。数字变成了一串非常有意义的话：
Eat the beancurd with the peanut. Taste like the ham.
主角喜极而泣……
这种加密方法是将原来的某种信息按照某个规律打乱。某种打乱的方式就叫做密钥(cipher code)。发出信息的人根据密钥来给信息加密，而接收信息的人利用相同的密钥，来给信息解密。就好像一个带锁的盒子。发送信息的人将信息放到盒子里，用钥匙锁上。而接受信息的人则用相同的钥匙打开。加密和解密用的是同一个密钥，这种加密称为对称加密（symmetric encryption）。
如果一对一的话，那么两人需要交换一个密钥。一对多的话，比如总部和多个特工的通信，依然可以使用同一套密钥。但这种情况下，对手偷到一个密钥的话，就知道所有交流的信息了。二战中盟军的情报战成果，很多都来自于破获这种对称加密的密钥。
二战中德军的传奇加密机：Enigma
为了更安全，总部需要给每个特工都设计一个不同的密钥。如果是FBI这样庞大的机构，恐怕很难维护这么多的密钥。在现代社会，每个人的信用卡信息都需要加密。一一设计密钥的话，银行怕是要跪了。
对称加密的薄弱之处在于给了太多人的钥匙。如果只给特工锁，而总部保有钥匙，那就容易了。特工将信息用锁锁到盒子里，谁也打不开，除非到总部用唯一的一把钥匙打开。只是这样的话，特工每次出门都要带上许多锁，太容易被识破身份了。总部老大想了想，干脆就把造锁的技术公开了。特工，或者任何其它人，可以就地取材，按照图纸造锁，但无法根据图纸造出钥匙。钥匙只有总部的那一把。
上面的关键是锁和钥匙工艺不同。知道了锁，并不能知道钥匙。这样，银行可以将“造锁”的方法公布给所有用户。每个用户可以用锁来加密自己的信用卡信息。即使被别人窃听到，也不用担心：只有银行才有钥匙呢！这样一种加密算法叫做非对称加密(asymmetric encryption)。非对称加密的经典算法是RSA算法。它来自于数论与计算机计数的奇妙结合。
为了了解RSA加密，请听一个卧底的自白：
RSA加密
我是潜伏在龙凤大酒楼的卧底。想让下面信息以加密的方式发送到总部：
A CHEF HIDE A BED
厨子藏起来了一张床！这是如此的重要，需要立即通知总部。千万重要的是，不能让反革命的厨子知道。
第一步是转码，也就是将英文转换成某个对应的数字。这个对应很容易建立，比如：
| A | B | C | D | E | F | G | H | I |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
将上面的信息转码，获得下面的数字序列：
A CHEF HIDE A BED 1 3856 8945 1 254
这串数字完全没有什么秘密可言。厨子发现了这串数字之后，很容易根据数字顺序，对应字母表猜出来。
为了和狡猾的厨子斗智斗勇，我们需要对这串数字进一步加密。使用总部发给我们的锁，两个数字：3和10。我们分为两步处理。
第一步是求乘方。第一个数字是3，也就是说，总部指示我们，求上面数字串的3次方：
原字符串: 1 3 8 5 6 8 9 4 5 1 2 5 4
三次乘方: 1 27 512 125 216 512 729 64 125 1 8 125 64
第二步是求余数。第二个上锁的数字是10，将上面每个三次乘方除以10，获得其余数：
余数： 1 7 2 5 6 2 9 4 5 1 8 5 4
将这串数字发回总部。中途被厨子偷看到，但一时不能了解其中的意思。如果还是像刚才一样对应字母表的话，信息是：
AGBEFBIDEAHED
这串字母完全不包含正常的单词。
信息到了总部。总部开始用神奇的钥匙来解读。这个钥匙是3。(偷偷告诉你的，别告诉厨子。)
（这里钥匙不小心和之前锁中的一个数字相同。这只是巧合。）
解锁过程也是两步。第一步求钥匙次的乘方，即3次方。第二步求它们除以10（锁之一）的余数。
加密信息：1 7 2 5 6 2 9 4 5 1 8 5 4
三次乘方：1 343 8 125 216 8 729 64 125 1 512 125 64 (这里用的是钥匙的“3”)
除十得余：1 3 8 5 6 8 9 4 5 1 2 5 4
正是我们发送的信息。对应字母表，总部可以立即知道原来的信息。
特工练习
再次强调，为了演示方便，选用了简单的锁和钥匙。锁和钥匙只是凑巧相同。为此，我们做一个小练习。
练习：总部新公布出来的锁是2987(次乘方)和3937(为除数)。
1) 作为特工，用上面的算法为信息加密(你可能需要一些编程来计算，尝试用Python的数学计算功能？)。
猜到钥匙是什么了呢？不是上面两个数字中的任何一个，而是143！
2) 作为值班人员，验证143是钥匙，可以解密信息。
为了简便，你可以只检验一个简单的信息，比如“IE”。
下面是我根据这个练习写的一个Python小程序。这里的转码用的是ASCII编码标准，而不是上面的A对应1，B对应2。
# By Vamei
#==== Agent ========
# coding covert: string to number
# By ASCII convention
def convert(original):
return map(ord, original)
# the input is a list of integers
def encrypt(input_list):
f = lambda x: (x**2987)%3937
return map(f, input_list)
#==== Headquarter =====
# the input is the result of the encrypt function
def decrypt(encrypted_list):
f = lambda x: (x**143)%3937
return map(f, encrypted_list)
# convert numbers back to a string
def inv_convert(decrypt_list):
f = lambda x: str(unichr(x))
result = map(f, decrypt_list)
return "".join(result)
# Test
message = "Go to hell!"
secret = encrypt(convert(message))
print(secret)
public = inv_convert(decrypt(secret))
print(public)费马与欧拉
发觉自己被愚弄了，厨子很生气，后果很严重。厨子发奋看了书，知道了这个加密方法叫RSA，是三为发明人 R. Rivest, A. Shamir和L. Adelman名字首字母合起来的。RSA算法是1977年发明的。全称是RSA Public Key System。这个"Public Key"是公共密钥，也就是我们上面说的锁。再读下去，厨子大窘。这个1977年的，现代计算机加密的RSA算法，居然源于17世纪。
1. 费马小定律
RSA的原理借助了数论中的“欧拉定理”(Euler's theorem)。17世纪的费马首先给出一个该定理的特殊形式，即“费马小定理”：
p是一个正的质数，a是任意一个不能被p整除的整数。那么，[$a^{p-1} - 1$]能被p整除。
我们并不需要太深入了解费马小定理，因为等下就会看到这个定理的“升级版”。但这个定理依然很美妙，它优美的得到乘方和整除的某种特殊关系。使用一个例子来说明它。比如[$p = 7，a = 3$]。那么费马小定律表示，[$3^{ 7 - 1} - 1$]可以被7整除。
事实上，上面的数字计算得到[$3^6 - 1 = 728$]，它确实可以被7整除。
练习：尝试一个其它的例子，比如[$p = 5， a = 4$]，验证费马小定律是否成立。
*** 数学小贴士：
1) 除 (divide)，商和余数：两个整数相除，有一个为整数的商，和一个余数。比如[$10/3 = 3, \,余1$]。我们用一个特别的方式记录这一叙述:
$$10 \equiv 1 (mod\, 3)$$
也可以写成另一种方式：
$$[10]_3 = [1]_3$$
这一表述方式与“10除以3，得3余1”这样的方式并没有什么区别。但采用标准的数学方式更容易和别人交流。
如果我们知道：
$$[a]_n = [b]_n$$
那么存在某个整数t，且：
$$a = nt + b$$
2) 整除 (divisible)：当一个整数a除以另一个整数b，余数为0时，那么我们说a可以被b整除。比如说，4可以被2整除。即
$$[4]_2 = [0]_2$$
3) 质数 (prime number)：一个质数是只能被[$ \pm 1$]和这个数自身整除的整数（不包括[$ \pm 1$]）。比如[$2，3，5，7，11，13$]等等。
******
费马是一名律师，也是一名业余数学家。他对数学贡献很大，堪称“业余数学家之王”。比如他和帕斯卡的通信算是概率论的开端。还有“费马大定理”，或者称为“费马猜想”。费马有在书边写注释的习惯。他在页边角写下了费马猜想，并说：
我发现了一个美妙的证明，但由于空白太小而没有写下来。
费马自己的证明没有再被发现。“费马猜想”的证明是300多年后，以现代数学为工具证得的，而这些数学工具在费马的时代是不存在的。这导致现代的数学家怀疑费马是不是在吹牛。费马小定理是费马的另一个定理。在费马那里，也还是个猜想。证明要等到欧拉。
程序员们：注释要完整啊！
2. 欧拉定律
时间流过一百年。欧拉是18世纪的瑞典数学家。这位数学巨人写了75本数学专著，几乎把当时所有的数学领域都征服了一遍。欧拉后来被叶卡捷琳娜二世邀请到俄国。据说，无神论者狄徳罗造访俄国，他宣称上帝并不存在，靠雄辩击败了整个俄国宫廷。欧拉曾醉心神学，对上帝很虔诚。欧拉看不下去了，上前说，“先生，[$e^{i\pi} + 1= 0$]，所以上帝存在。请回答！” 狄徳罗败给这个问题，灰溜溜的走了。
（这个传说的可信度不高，因为狄徳罗本人也是一位颇有造诣的数学家。）
欧拉定理(Euler's theorem)是欧拉在证明费马小定理的过程中，发现的一个适用性更广的定理。
首先定义一个函数，叫做欧拉Phi函数，即[$\phi(n)$]，其中，n是一个正整数。
$$\phi(n) = 总数(从1到n-1，与n互质的整数)$$
比如5，那么1，2，3，4，都与5互质。与5互质的数有4个。[$\phi(5) = 4$]
再比如6，与1，5互质，与2，3，4并不互质。因此，[$\phi(6) = 2$]
对于一个质数p来说，它和1, 2, 3, ..., p - 1都互质，所以[$\phi(p) = p - 1$]。比如[$\phi(7) = 6, \phi(11) = 10$]
*** “互质”的数学小贴士：
1) 因子 (factor)：每个整数都可以写成质数相乘的形式，每个这样的质数称为该整数的一个因子。
2) 互质 (relative prime)：如果两个整数没有公共因子，这两个质数互质。
******
欧拉定理叙述如下：
如果n是一个正整数，a是任意一个非0整数，且n和a互质。那么，[$a^{\phi(n)} - 1$]可以被n整除。 (1)
由于质数p有[$\phi(p) = p - 1$]。因此，从欧拉定理可以推出费马小定理。我们可以只使用欧拉定理，把费马小定理抛到脑后了。我们用一个例子简单的检验欧拉定理。如果n是6，那么[$\phi(6) = 2$]。让a是11，和6互质。[$11^2 - 1$]为120，确实可以被n，也就是6整除，符合欧拉定理。
数学中还有一个关于Phi函数的推论：
m和n是互质的正整数。那么，[$\phi(mn) = \phi(m) \phi(n)$] (2)
RSA西游记
下面我们要进入实质的证明。除了上面的(1)和(2)推论，还需要提前说明一个问题，即：
[$[ab]_n = [a]_n[b]_n$] (3)
证明：假设a和b除以n的余数为[$c_1, c_2$]。a和b可以写成[$a = nt_1 + c_1, b = nt_2 + c_2$]。那么，[$ab = n^2t_1t_2 + nt_1c_2 + nt_2c_1 + c_1c_2$]。因此ab除以n的余数为[$c_1c_2$]。即[$[ab]_n = [a]_n[b]_n$]。
根据此可以推论，[$[a^m]_n = [a]_n^m$]。
演一出叫做“西游记”的大戏，选角开始：
先选择两个质数p和q，分别是沙和尚和白龙马。让[$n = pq$]，n是唐僧。一路向西，唐僧靠的是沙和尚和白龙马出力：一个背行李，一个驮人。
而[$k = \phi(n) = (p - 1)(q - 1)$]。这里使用了(2)以及“质数p的Phi函数值为p-1”。k是八戒，也就是Phi(唐僧)，就是唐僧的一个跟屁虫。
选择任意d，并保证它与k互质。d是观音。观音姐姐在高老庄，真的是把八戒给“质”了一把。
取整数e，使得[$[de]_k = [1]_k$]。也就是说[$de = kt + 1$]，t为某一整数。e是悟空，横行无忌。
我们记得公开的用来上锁的两个数字，它们分别是悟空e和唐僧n。悟空威力大，负责乘方。唐僧太唠叨：一切妖怪见到它，就变成了余数。悟空和唐僧合作，就把世界搞乱了。
总部的观音姐姐d看不下去了。观音姐姐威力也大，也是乘方。再逼着唐僧重新唠叨。世界就恢复了。
善哉，善哉！
我们看一下这一魔幻大片“西游记”的现实主义原理。根据欧拉定理(1)，对于任意z，如果z与n互质，那么：
$$[z^{\phi(n)}]_n = [z^k]_n = [1]_n$$
因此，
$$[z^{de}]_n = [z^{kt + 1}]_n = [(z^k)^tz]_n = [z]_n$$
上面主要使用了[$de = kt + 1$]以及(3)。也就是说：
$$[z^{de}]_n = [z]_n$$
根据(3)的推论，有
$$([z^e]_n)^d = [z]_n$$
妖怪z，经过e和d的各一道，又变回了妖！上面过程中，悟空e和观音d忙得不亦乐乎，唐僧n就在一旁边唠叨边打酱油了。
这一等式，也正是我们加密又解密的过程 (加密: 悟空次方 + 唐僧唠叨。解密: 观音次方 + 唐僧唠叨)。悟空和唐僧是公钥，扔出去亮相。观音是私钥，偷偷藏起来，必要的时候才出来。
(上面都默认余数是最小正余数，也就是说，10除以3的余数为1，而不是4。尽管4也可以算是10的余数，即[$[4]_3 = [10]_3$]。)
姐姐，饶了我吧。
3和8两个妖怪见到唐僧5，都被唠叨成了余数3。这样就观音姐姐就算法力无边，还是没法还原。为了让唐僧求余的时候，不会把数字弄混了，RSA算法要求所有妖怪z小于唐僧n。为了对足够多的字符转码加密，n必须大过最大的妖怪。
但唐僧n大更重要的原因是要保护马仔。想破解，必须找到观音。回顾我们选择角色的过程。我们可以这样破解：唐僧n是公开的，1) 先找到它的隐藏手下沙和尚和白龙马。2) 沙和尚和白龙马知道了，那么二师兄k就保不住了。3) de = kt + 1，即找到一个e，可以让de - 1被k整除。观音姐姐就找到了。
上面的整个破解过程中，最困难的是第一步，即找到两个隐藏的打手。通常，p和q都会选的非常大，比如说200位。这导致唐僧n也非常大，有400位。寻找一个400位数字的质数分解并不容易，我们要做的除法运算次数大约为[$\sqrt{10^{400}}/2$]。这是[$10^{199}$]次除法运算！天河2号每秒浮点运算是[$10^{16}$]级别。那么，找到隐藏打手的工作，大约需要[$10^{174}$]年……。这个活，看来只能佛祖干了。
练习 如果唐僧不够大的话，马仔就危险了。想想之前的厨子，知道悟空是3，唐僧是10。隐藏打手是谁？ 八戒呢？ 观音呢？
总之，带头大哥不够“罩”的话，团伙就要被一窝端了。
总结
正如我在“数学与编程”中提到的，数学可以是程序员军火库中有力的武器。加密、解密这一事关IT安全的大课题，却和数论这一纯粹数学学科发生奇妙的关系。RSA算法的数学基础在于欧拉定理。这一诞生了几百年没有什么实用性的数学理论，却在网络时代，找到自己的栖身之处。
RSA算法是非对称算法。公开的加密方式，私有的解密方式。RSA安全的关键在于很难对一个大的整数进行因子分解。下一次，如果看到RSA被破解之类的消息，卧底必须大喊一声：“不给力呀，老湿！”