纸上谈兵: 最短路径与贪婪

图是由节点和连接节点的边构成的。节点之间可以由路径，即边的序列。根据路径，可以从一点到达另一点。在一个复杂的图中，图中两点可以存在许多路径。最短路径讨论了一个非常简单的图论问题，图中从A点到B点 ，那条路径耗费最短？

这个问题又异常复杂，因为网络的构成状况可能很复杂。

一个最简单的思路，是找出所有可能的从A到B的路径，再通过比较，来寻找最短路径。然而，这并没有将问题简化多少。因为搜索从A到B的路径，这本身就是很复杂的事情。而我们在搜索所有路径的过程中，有许多路径已经绕了很远，完全没有搜索的必要。比如从上海到纽约的路线，完全没有必要先从上海飞到南极，再从南极飞到纽约，尽管这一路径也是一条可行的路径。

所以，我们需要这样一个算法：它可以搜索路径，并当已知路径包括最短路径时，即停止搜索。我们先以无权网络为例，看一个可行的最短路径算法。

无权网络

无权网络(unweighted network)是相对于加权网络的，这里的“权”是权重。每条边的耗费相同，都为1。路径的总耗费即为路径上边的总数。

我们用“甩鞭子”的方式，来寻找最短路径。鞭子的长度代表路径的距离。

手拿一个特定长度的鞭子，站在A点。甩出鞭子，能打到一些点。比如C和D。

将鞭子的长度增加1。再甩出鞭子。此时，从C或D出发，寻找距离为1的邻接点，即E和F。这些点到A点的距离，为此时鞭子的长度。

记录点E和F，并记录它们的上游节点。比如E(C)， F(D)。我们同样可以记录此时该点到A的距离，比如5。

如果要记录节点E时，发现它已经出现在之前的记录中，这说明曾经有更短的距离到E。此时，不将E放入记录中。毕竟，我们感兴趣的是最短路径。如下图中的E：

黄色的E不被记录

最初的鞭子长度为0，站在A点，只能打到A点自身。当我们不断增加鞭子长度，第一次可以打到B时，那么此时鞭子的长度，就是从A到B的最短距离。循着我们的记录，倒推上游的节点，就可以找出整个最短路径。

我们的记录本是个很有意思的东西。某个点放入记录时，此时的距离，都是A点到该点的最短路径。根据记录，我们可以反推出记录中任何一点的最短路径。这就好像真诚对待每个人。这能保证，当你遇到真爱时，你已经是在真诚相待了。实际上，记录将所有节点分割成两个世界：记录内的，已知最短距离的；记录外的，未知的。

加权网络

在加权网络中(weighted network)，每条边有各自的权重。当我们选择某个路径时，总耗费为路径上所有边的权重之和。

加权网络在生活中很常见，比如从北京到上海，可以坐火车，也可以坐飞机。但两种选择耗费的时间并不同。再比如，我们打出租车和坐公交车，都可以到市区，但车资也有所不同。在计算机网络中，由于硬件性能不同，连接的传输速度也有所差异。加权网络正适用于以上场景。无权网络是加权网络的一个特例。

这个问题看起来和无权网络颇为类似。但如果套用上面的方法，我们会发现，记录中的节点并不一定是最短距离。我们看下面的例子：

很明显，最短路径是A->C->D->B，因为它的总耗费只有4。按照上面的方法，我们先将A放入记录。从A出发，有B和C两个如果将B和C同时放入记录，那么记录中的B并不符合最短距离的要求。

那么，为什么无权网络可行呢？假设某次记录时，鞭子长度为5，那么这次记录点的邻接点，必然是距离为6的点。如果这些邻接点没有出现过，那么6就是它们的最短距离。所有第一次出现的邻接点，都将加入到下次的记录中。比如下面的例子，C/D/E是到达A的邻接点，它们到A的最短距离必然都是1。

对于加权网络来说，即使知道了邻接点，也无法判断它们是否符合最短距离。在记录C/D/E时，我们无法判断未来是否存在如下图虚线的连接，导致A的邻接点E并不是下一步的最短距离点：

但情况并没有我们想的那么糟糕。仔细观察，我们发现，虽然无法一次判定所有的邻接点为下一步的最短距离点，但我们可以确定点C已经处在从A出发的最短距离状态。A到C的其它可能性，比如途径D和E，必然导致更大的成本。

也就是说，邻接点中，有一个达到了最短距离点，即邻接点中，到达A距离最短的点，比如上面的C。我们可以安全的把C改为已知点。A和C都是已知点，点P成为新的邻接点。P到A得距离为4。

出于上面的观察，我们可以将节点分为三种：

• 已知点：已知到达A最短距离的点。“我是成功人士。”
• 邻接点：有从记录点出发的边，直接相邻的点。“和成功人士接触，也有成功的机会哦。”
• 未知点：“还早得很。”

最初的已知点只有A。已知点的直接下游节点为邻接点。对于邻接点，我们需要独立的记录它们。我们要记录的有：

• 当前情况下，从A点出发到达该邻接点的最短距离。比如对于上面的点D，为6。
• 此最短距离下的上游节点。对于上面的点D来说，为A。

每次，我们将邻接点中最短距离最小的点X转为已知点，并将该点的直接下游节点，改为邻接点。我们需要计算从A出发，经由X，到达这些新增邻接点的距离：新距离 = X最短距离 + QX边的权重。此时有两种情况，

• 如果下游节点Q还不是邻接点，那么直接加入，Q最短距离 = 新距离，Q上游节点为X。
• 如果下游节点Q已经是邻接点，记录在册的上游节点为Y，最短距离为y。如果新距离小于y，那么最小距离改为新距离，上游节点也改为X。否则保持原记录不变。

我们还用上面的图，探索A到E的路径：

第一步

第二步

第二步

第三步

最后，E成为已知。倒退，可以知道路径为E, P, C, A。正过来，就是从A到E的最短路径了。

上面的算法是经典的Dijkstra算法。本质上，每个邻接点记录的，是基于已知点的情况下，最好的选择，也就是所谓的“贪婪算法”(greedy algorithm)。当我们贪婪时，我们的决定是临时的，并没有做出最终的决定。转换某个点成为已知点后，我们增加了新的可能性，贪婪再次起作用。根据对比。随后，某个邻接点成为新的“贪无可贪”的点，即经由其它任意邻接点，到达该点都只会造成更高的成本； 经由未知点到达该点更不可能，因为未知点还没有开放，必然需要经过现有的邻接点到达，只会更加绕远。好吧，该点再也没有贪婪的动力，就被扔到“成功人士”里，成为已知点。成功学不断传染，最后感染到目标节点B，我们就找到了B的最短路径。

实现

理解了上面的原理，算法的实现是小菜一碟。我们借用图 (graph)中的数据结构，略微修改，构建加权图。

我们将上面的表格做成数组records，用于记录路径探索的信息。

重新给点A,C,D,E,P命名，为0, 1, 2, 3, 4。

代码如下：

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5
#define INFINITY 10000

typedef struct node *position;
typedef struct record *label;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
    int weight;
};

/* table element, keep record */
struct record {
    int status;
    int distance;
    int previous;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int, int);
void print_graph(position, int);
int new_neighbors(position, label, int, int);
void shortest_path(position, label, int, int, int);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    struct record records[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=0; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
        (graph+i)->weight  = -1;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,0,1,1);
    insert_edge(graph,0,2,6);
    insert_edge(graph,0,3,9);
    insert_edge(graph,1,4,3);
    insert_edge(graph,4,3,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
    
    // initialize the book
    for (i=0; i<NUM_V; i++){
        (records+i)->status   = -1;
        (records+i)->distance = INFINITY;
        (records+i)->previous = -1;
    }
    
    shortest_path(graph, records, NUM_V, 0, 3);
    
    // 
}
void shortest_path(position graph, label records, int nv, int start, int end) {
    int current;
    
    (records+start)->status   = 1;
    (records+start)->distance = 0;
    (records+start)->previous = 0;
    
    current = start;
    while(current != end) {
        current = new_neighbors(graph, records, nv, current);
    }
    
    while(current != start) {
        printf("%d <- ", current);
        current = (records+current)->previous;
    }
    printf("%d\n", current);
}

int new_neighbors(position graph, label records, int nv, int current) {
    int newDist;
    int v;
    int i;
    int d;
    
    position p;
    
    // update the current known
    (records + current)->status = 1;
    
    // UPDATE new neighbors
    p = (graph+current)->next;
    while(p != NULL) {
        v = p->element;
        (records + v)->status = 0;
        newDist = p->weight + (records + current)->distance;
        if ((records + v)->distance > newDist) {
            (records + v)->distance = newDist;
            (records + v)->previous = current;
        }
        p = p->next;
    }
    
    // find the next known
    d = INFINITY;
    for (i=0; i<nv; i++) {
        if ((records + i)->status==0 && (records + i)->distance < d){
            d = (records + i)->distance;
            v = i;
        }
    }
    return v;
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=0; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; w:%d ", i, p->element, p->weight);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 * with weight
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to, int weight)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    nodeAddr->weight  = weight;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果如下：

From 0: 0->3; w:9 0->2; w:6 0->1; w:1

From 1: 1->4; w:3

From 2:

From 3:

From 4: 4->3; w:3

3 <- 4 <- 1 <- 0

即从0到1到4到3，也就是从A到C到P到E，是我们的最短路径。

上面的算法中，最坏情况是目标节点最后成为已知点，即要寻找[$O(|V|)$]。而每个已知点是通过寻找[$O(|V|)$]个节点的最小值得到的。最后，打印出最短的路径过程中，需要倒退，最多可能有[$O|E|$]，也就是说，算法复杂度为[$O(|V|^2 + |E|)$]。

上面的records为一个数组，用于记录路径探索信息。我们可以用一个优先队列来代替它，将已知的节点移除优先队列。这样可以达到更好的运算效率。

练习: 自行设计一个加权网络，寻找最短路径。

总结

最短路径是寻找最优解的算法。在复杂的网络中，简单的实现方式无法运行，必须求助于精心设计的算法，比如这里的Dijkstra算法。利用贪婪的思想，我们不断的优化结果，直到找到最优解。