纸上谈兵: 排序算法简介及其C实现

排序算法(Sorting Algorithm)是计算机算法的一个组成部分。

排序的目标是将一组数据 (即一个序列) 重新排列，排列后的数据符合从大到小 (或者从小到大) 的次序。这是古老但依然富有挑战的问题。Donald Knuth的经典之作《计算机程序设计艺术》(The Art of Computer Programming)的第三卷就专门用于讨论排序和查找。从无序到有序，有效的减小了系统的熵值，增加了系统的有序度。对于一个未知系统来说，有序是非常有用的先验知识。因此，排序算法很多时候构成了其他快速算法的基础，比如二分法就是基于有序序列的查找算法。直到今天，排序算法依然是计算机科学积极探索的一个方向。

我在这里列出一些最常见的排序方法，并尝试使用C语言实现它们。一组数据存储为一个数组a，数组有n个元素。a[i]为数组中的一个元素，i为元素在数组中的位置 (index)。根据C的规定，数组下标从0开始。假设数组从左向右排列，下标为0的元素位于数组的最左边。

序列将最终排列成从小到大的顺序。下面函数中的参数ac是数组中元素的数目，也就是n。

(C语言的数组名都转成指针，传递给函数，所以需要传递数组中元素的数目ac给函数，详细见"Expert C Programming: Deep C Secrets"一书)

起始数列 （unsorted）

有序数列 (sorted)

下面的链接中，有相关算法的动画图例，强烈推荐同时阅读。

http://www.sorting-algorithms.com/

冒泡排序 (Bubble Sort)

对于一个已经排序好的序列，它的任意两个相邻元素，都应该满足a[i-1] <= a[i]的关系。冒泡排序相当暴力的实现了这一目标：不断扫描相邻元素，看它们是否违章。一旦违章，立即纠正。在冒泡排序时，计算机从右向左遍历数组，比较相邻的两个元素。如果两个元素的顺序是错的，那么sorry，请两位互换。如果两个元素的顺序是正确的，则不做交换。经过一次遍历，我们可以保证最小的元素(泡泡)处于最左边的位置。

然而，经过这么一趟，冒泡排序不能保证所有的元素已经按照次序排列好。我们需要再次从右向左遍历数组元素，进行冒泡排序。这一次遍历，我们不用考虑最左端的元素，因为该元素已经是最小的。遍历结束后，继续重复扫描…… 总共可能进行n-1次的遍历。

如果某次遍历过程中，没有发生交换，bingo，这个数组已经排序好，可以中止排序。如果起始时，最大的元素位于最左边，那么冒泡算法必须经过n-1次遍历才能将数组排列好，而不能提前完成排序。

/*By Vamei*/
/*swap the neighbors if out of order*/
void bubble_sort(int a[], int ac)
{
    /*use swap*/
    int i,j;
    int sign;
    for (j = 0; j < ac-1; j++) {
        sign = 0;
        for(i = ac-1; i > j; i--)
        {
            if(a[i-1] > a[i]) {
                sign = 1;
                swap(a+i, a+i-1);
            }
        }
        if (sign == 0) break;
    }
}

插入排序 (Insertion Sort)

假设在新生报到的时候，我们将新生按照身高排好队(也就是排序)。如果这时有一名学生加入，我们将该名学生加入到队尾。如果这名学生比前面的学生低，那么就让该学生和前面的学生交换位置。这名学生最终会换到应在的位置。这就是插入排序的基本原理。

对于起始数组来说，我们认为最初，有一名学生，也就是最左边的元素(i=0)，构成一个有序的队伍。

随后有第二个学生(i=1)加入队伍，第二名学生交换到应在的位置；随后第三个学生加入队伍，第三名学生交换到应在的位置…… 当n个学生都加入队伍时，我们的排序就完成了。

/*By Vamei*/
/*insert the next element 
  into the sorted part*/
void insert_sort(int a[], int ac)
{
    /*use swap*/
    int i,j;    
    for (j=1; j < ac; j++) 
    {
        i = j-1;
        while((i>=0) && (a[i+1] < a[i])) 
        {
            swap(a+i+1, a+i);
            i--;
        }
    }
}

选择排序 (Selection Sort)

排序的最终结果：任何一个元素都不大于位于它右边的元素 (a[i] <= a[j], if i <= j)。所以，在有序序列中，最小的元素排在最左的位置，第二小的元素排在i=1的位置…… 最大的元素排在最后。

选择排序是先找到起始数组中最小的元素，将它交换到i=0；然后寻找剩下元素中最小的元素，将它交换到i=1的位置…… 直到找到第二大的元素，将它交换到n-2的位置。这时，整个数组的排序完成。

/*By Vamei*/
/*find the smallest of the rest,
  then append to the sorted part*/
void select_sort(int a[], int ac) 
{
    /*use swap*/
    int i,j;
    int min_idx;
    for (j = 0; j < ac-1; j++) 
    {
        min_idx = j;
        for (i = j+1; i < ac; i++) 
        {
            if (a[i] < a[min_idx]) 
            {
                min_idx = i;
            }
        }
        swap(a+j, a+min_idx);
    }    
}

希尔排序 （Shell Sort）

我们在冒泡排序中提到，最坏的情况发生在大的元素位于数组的起始。这些位于数组起始的大元素需要多次遍历，才能交换到队尾。这样的元素被称为乌龟(turtle)。

乌龟元素的原因在于，冒泡排序总是相邻的两个元素比较并交换。所以每次从右向左遍历，大元素只能向右移动一位。(小的元素位于队尾，被称为兔子(rabbit)元素，它们可以很快的交换到队首。)

希尔排序是以更大的间隔来比较和交换元素，这样，大的元素在交换的时候，可以向右移动不止一个位置，从而更快的移动乌龟元素。比如，可以将数组分为4个子数组（i=4k, i=4k+1, i=4k+2, i=4k+3），对每个子数组进行冒泡排序。比如子数组i=0，4，8，12...。此时，每次交换的间隔为4。

完成对四个子数组的排序后，数组的顺序并不一定能排列好。希尔排序会不断减小间隔，重新形成子数组，并对子数组冒泡排序…… 当间隔减小为1时，就相当于对整个数组进行了一次冒泡排序。随后，数组的顺序就排列好了。

希尔排序不止可以配合冒泡排序，还可以配合其他的排序方法完成。

/*By Vamei*/
/*quickly sort the turtles at the tail of the array*/
void shell_sort(int a[], int ac)
{
    int step;
    int i,j;
    int nsub;
    int *sub;

    /* initialize step */
    step = 1;
    while(step < ac) step = 3*step + 1;

    /* when step becomes 1, it's equivalent to the bubble sort*/
    while(step > 1) {
       /* step will go down to 1 at most */
       step = step/3 + 1;
       for(i=0; i<step; i++) {
           /* pick an element every step, 
              and combine into a sub-array */
           nsub = (ac - i - 1)/step + 1;            
           sub = (int *) malloc(sizeof(int)*nsub);
           for(j=0; j<nsub; j++) {
               sub[j] = a[i+j*step]; 
           }
           /* sort the sub-array by bubble sorting. 
              It could be other sorting methods */
           bubble_sort(sub, nsub);
           /* put back the sub-array*/
           for(j=0; j<nsub; j++) {
               a[i+j*step] = sub[j];
           }
           /* free sub-array */
           free(sub);
       }    
    }
}

Shell Sorting依赖于间隔(step)的选取。一个常见的选择是将本次间隔设置为上次间隔的1/1.3。见参考书籍。

归并排序 (Merge Sort)

如果我们要将一副扑克按照数字大小排序。此前已经有两个人分别将其中的一半排好顺序。那么我们可以将这两堆扑克向上放好，假设小的牌在上面。此时，我们将看到牌堆中最上的两张牌。

我们取两张牌中小的那张取出放在手中。两个牌堆中又是两张牌暴露在最上面，继续取小的那张放在手中…… 直到所有的牌都放入手中，那么整副牌就排好顺序了。这就是归并排序。

下面的实现中，使用递归：

/*By Vamei*/
/*recursively merge two sorted arrays*/
void merge_sort(int *a, int ac)
{
    int i, j, k;    
    int ac1, ac2;
    int *ah1, *ah2;
    int *container;

    /*base case*/    
    if (ac <= 1) return;

    /*split the array into two*/
    ac1 = ac/2;
    ac2 = ac - ac1;
    ah1 = a + 0;
    ah2 = a + ac1;

    /*recursion*/
    merge_sort(ah1, ac1);
    merge_sort(ah2, ac2);
 
    /*merge*/
    i = 0;
    j = 0;
    k = 0;
    container = (int *) malloc(sizeof(int)*ac);
    while(i<ac1 && j<ac2) {
        if (ah1[i] <= ah2[j]) {
            container[k++] = ah1[i++];
        } 
        else {
            container[k++] = ah2[j++];
        }
    }
    while (i < ac1) {
        container[k++] = ah1[i++];
    }
    while (j < ac2) {
        container[k++] = ah2[j++];
    }

    /*copy back the sorted array*/
    for(i=0; i<ac; i++) {
        a[i] = container[i];
    }
    /*free space*/
    free(container);
}

快速排序 (Quick Sort)

我们依然考虑按照身高给学生排序。在快速排序中，我们随便挑出一个学生，以该学生的身高为参考(pivot)。然后让比该学生低的站在该学生的右边，剩下的站在该学生的左边。

很明显，所有的学生被分成了两组。该学生右边的学生的身高都大于该学生左边的学生的身高。

我们继续，在低身高学生组随便挑出一个学生，将低身高组的学生分为两组(很低和不那么低)。同样，将高学生组也分为两组(不那么高和很高)。

如此继续细分，直到分组中只有一个学生。当所有的分组中都只有一个学生时，则排序完成。

在下面的实现中，使用递归:

/*By Vamei*/
/*select pivot, put elements (<= pivot) to the left*/
void quick_sort(int a[], int ac)
{
    /*use swap*/

    /* pivot is a position, 
       all the elements before pivot is smaller or equal to pvalue */
    int pivot;
    /* the position of the element to be tested against pivot */
    int sample;

    /* select a pvalue.  
       Median is supposed to be a good choice, but that will itself take time.
       here, the pvalue is selected in a very simple wayi: a[ac/2] */
    /* store pvalue at a[0] */
    swap(a+0, a+ac/2);
    pivot = 1; 

    /* test each element */
    for (sample=1; sample<ac; sample++) {
        if (a[sample] < a[0]) {
            swap(a+pivot, a+sample);
            pivot++;
        }
    }
    /* swap an element (which <= pvalue) with a[0] */
    swap(a+0,a+pivot-1);

    /* base case, if only two elements are in the array,
       the above pass has already sorted the array */
    if (ac<=2) return;
    else {
        /* recursion */
        quick_sort(a, pivot);
        quick_sort(a+pivot, ac-pivot);
    }
}

理想的pivot是采用分组元素中的中位数。然而寻找中位数的算法需要另行实现。也可以随机选取元素作为pivot，随机选取也需要另行实现。为了简便，我每次都采用中间位置的元素作为pivot。

堆排序 (Heap Sort)

堆(heap)是常见的数据结构。它是一个有优先级的队列。最常见的堆的实现是一个有限定操作的Complete Binary Tree。这个Complete Binary Tree保持堆的特性，也就是父节点(parent)大于子节点(children)。因此，堆的根节点是所有堆元素中最小的。堆定义有插入节点和删除根节点操作，这两个操作都保持堆的特性。

我们可以将无序数组构成一个堆，然后不断取出根节点，最终构成一个有序数组。

堆的更详细描述请阅读参考书目。

下面是堆的数据结构，以及插入节点和删除根节点操作。你可以很方便的构建堆，并取出根节点，构成有序数组。

/* By Vamei 
   Use an big array to implement heap
   DECLARE: int heap[MAXSIZE] in calling function
   heap[0] : total nodes in the heap
   for a node i, its children are i*2 and i*2+1 (if exists)
   its parent is i/2  */

void insert(int new, int heap[]) 
{
    int childIdx, parentIdx;
    heap[0] = heap[0] + 1;
    heap[heap[0]] = new;
    
    /* recover heap property */
    percolate_up(heap);
}

static void percolate_up(int heap[]) {
    int lightIdx, parentIdx;
    lightIdx  = heap[0];
    parentIdx = lightIdx/2;
    /* lightIdx is root? && swap? */
    while((parentIdx > 0) && (heap[lightIdx] < heap[parentIdx])) {
        /* swap */
        swap(heap + lightIdx, heap + parentIdx); 
        lightIdx  = parentIdx;
        parentIdx = lightIdx/2;
    }
}


int delete_min(int heap[]) 
{
    int min;
    if (heap[0] < 1) {
        /* delete element from an empty heap */
        printf("Error: delete_min from an empty heap.");
        exit(1);
    }

    /* delete root 
       move the last leaf to the root */
    min = heap[1];
    swap(heap + 1, heap + heap[0]);
    heap[0] -= 1;

    /* recover heap property */
    percolate_down(heap);
 
    return min;
}

static void percolate_down(int heap[]) {
    int heavyIdx;
    int childIdx1, childIdx2, minIdx;
    int sign; /* state variable, 1: swap; 0: no swap */

    heavyIdx = 1;
    do {
        sign     = 0;
        childIdx1 = heavyIdx*2;
        childIdx2 = childIdx1 + 1;
        if (childIdx1 > heap[0]) {
            /* both children are null */
            break; 
        }
        else if (childIdx2 > heap[0]) {
            /* right children is null */
            minIdx = childIdx1;
        }
        else {
            minIdx = (heap[childIdx1] < heap[childIdx2]) ?
                          childIdx1 : childIdx2;
        }

        if (heap[heavyIdx] > heap[minIdx]) {
            /* swap with child */
            swap(heap + heavyIdx, heap + minIdx);
            heavyIdx = minIdx;
            sign = 1;
        }
    } while(sign == 1);
}

总结

除了上面的算法，还有诸如Bucket Sorting, Radix Sorting涉及。我会在未来实现了相关算法之后，补充到这篇文章中。相关算法的时间复杂度分析可以参考书目中找到。我自己也做了粗糙的分析。如果博客园能支持数学公式的显示，我就把自己的分析过程贴出来，用于引玉。

上面的各个代码是我自己写的，只进行了很简单的测试。如果有错漏，先谢谢你的指正。

最后，上文中用到的交换函数为：

/* By Vamei */
/* exchange the values pointed by pa and pb*/
void swap(int *pa, int *pb)
{
    int tmp;
    tmp = *pa;
    *pa = *pb;
    *pb = tmp;
}