BP 神经网络
1、神经网络model
先介绍个三层的神经网络，如下图所示
输入层（input layer）有三个 units（ $${x_0}$$ 为补上的 bias，通常设为 1）
$$a_i^{(j)}$$ 表示第 j 层的第 i 个激励，也称为为单元 unit
$${\theta ^{(j)}}$$ 为第 j 层到第 j+1 层映射的权重矩阵，就是每条边的权重
所以可以得到：
隐含层：
$$a_1^{(2)} = g(\theta _{10}^{(1)}{x_0} + \theta _{11}^{(1)}{x_1} + \theta _{12}^{(1)}{x_2} + \theta _{13}^{(1)}{x_3})$$
$$a_2^{(2)} = g(\theta _{20}^{(1)}{x_0} + \theta _{21}^{(1)}{x_1} + \theta _{22}^{(1)}{x_2} + \theta _{23}^{(1)}{x_3})$$
$$a_3^{(2)} = g(\theta _{30}^{(1)}{x_0} + \theta _{31}^{(1)}{x_1} + \theta _{32}^{(1)}{x_2} + \theta _{33}^{(1)}{x_3})$$
输出层
$${h_\theta }(x) = a_1^{(3)} = g(\theta _{10}^{(2)}a_0^{(2)} + \theta _{11}^{(2)}a_1^{(2)} + \theta _{12}^{(2)}a_2^{(2)} + \theta _{13}^{(2)}a_3^{(2)})$$ 其中，S型函数 $$g(z) = \frac{1}{{1 + {e^{ - z}}}}$$ ，也成为激励函数
可以看出 $${\theta ^{(1)}}$$ 为3x4的矩阵， $${\theta ^{(2)}}$$ 为 1x4 的矩阵
$${\theta ^{(j)}}$$ ==》j+1的单元数x（j层的单元数+1）
2、代价函数
- 假设最后输出的 $${h_\Theta }(x) \in {R^K}$$ ，即代表输出层有K个单元
- $$J(\Theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{k = 1}^K {[y_k^{(i)}\log {{({h_\Theta }({x^{(i)}}))}k}} } + (1 - y_k^{(i)})\log {(1 - {h\Theta }({x^{(i)}}))_k}]$$ 其中， $${({h_\Theta }(x))_i}$$ 代表第
i个单元输出 - 与逻辑回归的代价函数 $$J(\theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - } {y^{(i)}})\log (1 - {h_\theta }({x^{(i)}})]$$ 差不多，就是累加上每个输出（共有K个输出）
3、正则化
L-->所有层的个数- $${S_l}$$ -->第
l层unit的个数 - 正则化后的代价函数为
- $$\theta $$ 共有
L-1层，然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的 theta(0)
正则化后的代价函数实现代码：
# 代价函数
def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
length = nn_params.shape[0] # theta的中长度
# 还原theta1和theta2
Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
# np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')
m = X.shape[0]
class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
# 映射y
for i in range(num_labels):
class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
'''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
Theta1_colCount = Theta1.shape[1]
Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
Theta2_colCount = Theta2.shape[1]
Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
# 正则化向theta^2
term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))
'''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''
a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
a2 = sigmoid(z2)
a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
h = sigmoid(z3)
'''代价'''
J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m
return np.ravel(J)
4、反向传播BP
上面正向传播可以计算得到
J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度
假设4层的神经网络, $$\delta _{\text{j}}^{(l)}$$ 记为-->
l层第j个单元的误差$$\delta _{\text{j}}^{(4)} = a_j^{(4)} - {y_i}$$ 《===》 $${\delta ^{(4)}} = {a^{(4)}} - y$$ （向量化）
$${\delta ^{(3)}} = {({\theta ^{(3)}})^T}{\delta ^{(4)}}.*{g^}({a^{(3)}})$$
$${\delta ^{(2)}} = {({\theta ^{(2)}})^T}{\delta ^{(3)}}.*{g^}({a^{(2)}})$$
没有 $${\delta ^{(1)}}$$ ，因为对于输入没有误差
因为S型函数 $${\text{g(z)}}$$ 的导数为： $${g^}(z){\text{ = g(z)(1 - g(z))}}$$ ，所以上面的 $${g^}({a^{(3)}})$$ 和 $${g^}({a^{(2)}})$$ 可以在前向传播中计算出来
反向传播计算梯度的过程为：
$$\Delta _{ij}^{(l)} = 0$$ （ $$\Delta $$ 是大写的 $$\delta $$ ）
for i=1-m:
- $${a^{(1)}} = {x^{(i)}}$$
-正向传播计算 $${a^{(l)}}$$ （l=2,3,4...L）
-反向计算 $${\delta ^{(L)}}$$ 、 $${\delta ^{(L - 1)}}$$ ... $${\delta ^{(2)}}$$ ；
- $$\Delta _{ij}^{(l)} = \Delta _{ij}^{(l)} + a_j^{(l)}{\delta ^{(l + 1)}}$$
- $$D_{ij}^{(l)} = \frac{1}{m}\Delta _{ij}^{(l)} + \lambda \theta _{ij}^l\begin{array}{c} {}& {(j \ne 0)} \end{array} $$
$$D_{ij}^{(l)} = \frac{1}{m}\Delta _{ij}^{(l)} + \lambda \theta _{ij}^lj = 0\begin{array}{c} {}& {j = 0} \end{array} $$最后 $$\frac{{\partial J(\Theta )}}{{\partial \Theta {ij}^{(l)}}} = D{ij}^{(l)}$$ ，即得到代价函数的梯度
实现代码：
# 梯度
def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
length = nn_params.shape[0]
Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1).copy() # 这里使用copy函数，否则下面修改Theta的值，nn_params也会一起修改
Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1).copy()
m = X.shape[0]
class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
# 映射y
for i in range(num_labels):
class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
'''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
Theta1_colCount = Theta1.shape[1]
Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
Theta2_colCount = Theta2.shape[1]
Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape)) #第一层到第二层的权重
Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape)) #第二层到第三层的权重
'''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias'''
a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
a2 = sigmoid(z2)
a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
h = sigmoid(z3)
'''反向传播，delta为误差，'''
delta3 = np.zeros((m,num_labels))
delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))
for i in range(m):
#delta3[i,:] = (h[i,:]-class_y[i,:])*sigmoidGradient(z3[i,:]) # 均方误差的误差率
delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:] # 交叉熵误差率
Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))
delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])
Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))
Theta1[:,0] = 0
Theta2[:,0] = 0
'''梯度'''
grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m
return np.ravel(grad)
5、BP可以求梯度的原因
- 实际是利用了
链式求导法则 - 因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算
- 大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的
y非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。
求误差更详细的推导过程：
6、梯度检查
- 检查利用
BP求的梯度是否正确 - 利用导数的定义验证： $$\frac{{dJ(\theta )}}{{d\theta }} \approx \frac{{J(\theta + \varepsilon ) - J(\theta - \varepsilon )}}{{2\varepsilon }}$$
- 求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近
- 验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了
实现代码：
# 检验梯度是否计算正确
# 检验梯度是否计算正确
def checkGradient(Lambda = 0):
'''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了'''
input_layer_size = 3
hidden_layer_size = 5
num_labels = 3
m = 5
initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size);
initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)
X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)
y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y
y = y.reshape(-1,1)
nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1))) #展开theta
'''BP求出梯度'''
grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size,
num_labels, X, y, Lambda)
'''使用数值法计算梯度'''
num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))
step = np.zeros((nn_params.shape[0]))
e = 1e-4
for i in range(nn_params.shape[0]):
step[i] = e
loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,
num_labels, X, y,
Lambda)
loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,
num_labels, X, y,
Lambda)
num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)
step[i]=0
# 显示两列比较
res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))
print res
7、权重的随机初始化
神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta为0,因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。
所以应该初始化为接近0的数
实现代码
# 随机初始化权重theta
def randInitializeWeights(L_in,L_out):
W = np.zeros((L_out,1+L_in)) # 对应theta的权重
epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5
W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵
return W
8、预测
正向传播预测结果
实现代码
# 预测
def predict(Theta1,Theta2,X):
m = X.shape[0]
num_labels = Theta2.shape[0]
#p = np.zeros((m,1))
'''正向传播，预测结果'''
X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))
h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))
h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))
'''
返回h中每一行最大值所在的列号
- np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
- 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
'''
#np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')
p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))
for i in np.arange(1, m):
t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))
p = np.vstack((p,t))
return p
9、输出结果
梯度检查：
随机显示100个手写数字
显示theta1权重
训练集预测准确度
归一化后训练集预测准确度
