第二章 数组 - 2.5 跳台阶

跳台阶问题

题目描述

一个台阶总共有n 级，如果一次可以跳1 级，也可以跳2 级。

求总共有多少总跳法，并分析算法的时间复杂度。

分析与解法

解法一

首先考虑最简单的情况。如果只有1级台阶，那显然只有一种跳法。如果有2级台阶，那就有两种跳的方法了：一种是分两次跳，每次跳1级；另外一种就是一次跳2级。

现在我们再来讨论一般情况。我们把n级台阶时的跳法看成是n的函数，记为f(n)。

• 当n>2时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：
  • 一是第一次只跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为f(n-1)；
  • 另外一种选择是第一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下的n-2级台阶的跳法数目，即为f(n-2)。

因此n级台阶时的不同跳法的总数f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

我们把上面的分析用一个公式总结如下：

        /  1                             n = 1
f(n)=      2                             n = 2
        \  f(n-1) + f(n-2)               n > 2

原来上述问题就是我们平常所熟知的Fibonacci数列问题。可编写代码，如下：

long long Fibonacci(unsigned int n)
{
    int result[3] = {0, 1, 2};
    if (n <= 2)
        return result[n];
    return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

那么，如果一个人上台阶可以一次上1个，2个，或者3个呢？这个时候，公式是这样写的：

        / 1                                      n = 1
f(n)=     2                                      n = 2
          4                                      n = 3       //111, 12, 21, 3
        \ f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)                   n > 3

解法二

解法一用的递归的方法有许多重复计算的工作，事实上，我们可以从后往前推，一步步利用之前计算的结果递推。

初始化时，dp[0]=dp[1]=1，然后递推计算即可：dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]。

参考代码如下：

//1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21..
int ClimbStairs(int n)
{
    int dp[3] = { 1, 1 };
    if (n < 2)
    {
        return 1;
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        dp[2] = dp[0] + dp[1];
        dp[0] = dp[1];
        dp[1] = dp[2];
    }
    return dp[2];
}

举一反三

1、兔子繁殖问题

13世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提出这样一个问题：有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后.第三个月开始生小兔子假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖成多少对？

分析：这就是斐波那契数列的由来，本节的跳台阶问题便是此问题的变形，只是换了种表述形式。

2、换硬币问题。

想兑换100元钱，有1,2,5,10四种钱，问总共有多少兑换方法。

const int N = 100;
int dimes[] = { 1, 2, 5, 10 };
int arr[N + 1] = { 1 };
for (int i = 0; i < sizeof(dimes) / sizeof(int); ++i)
{
    for (int j = dimes[i]; j <= N; ++j)
    {
        arr[j] += arr[j - dimes[i]];
    }
}

此问题还有一个变形，就是打印出路径目前只想到要使用递归来解决这个问题。对此，利用一个vector来保存路径，每进入一层，push_back一个路径，每退出一层，pop_back一个路径。