第二章 数组 - 2.6 奇偶排序

题目描述

输入一个整数数组，调整数组中数字的顺序，使得所有奇数位于数组的前半部分，所有偶数位于数组的后半部分。要求时间复杂度为O(n)。

分析与解法

最容易想到的办法是从头扫描这个数组，每碰到一个偶数，拿出这个数字，并把位于这个数字后面的所有数字往前挪动一位。挪完之后在数组的末尾有一个空位，然后把该偶数放入这个空位。由于每碰到一个偶数，需要移动O(n)个数字，所以这种方法总的时间复杂度是O(n^2)，不符合题目要求。

事实上，若把奇数看做是小的数，偶数看做是大的数，那么按照题目所要求的奇数放在前面偶数放在后面，就相当于小数放在前面大数放在后面，联想到快速排序中的partition过程，不就是通过一个主元把整个数组分成大小两个部分么，小于主元的小数放在前面，大于主元的大数放在后面。

而partition过程有以下两种实现：

• 一头一尾两个指针往中间扫描，如果头指针遇到的数比主元大且尾指针遇到的数比主元小，则交换头尾指针所分别指向的数字；
• 一前一后两个指针同时从左往右扫，如果前指针遇到的数比主元小，则后指针右移一位，然后交换各自所指向的数字。

类似这个partition过程，奇偶排序问题也可以分别借鉴partition的两种实现解决。

为何？比如partition的实现一中，如果最终是为了让整个序列元素从小到大排序，那么头指针理应指向的就是小数，而尾指针理应指向的就是大数，故当头指针指的是大数且尾指针指的是小数的时候就不正常，此时就当交换。

解法一

借鉴partition的实现一，我们可以考虑维护两个指针，一个指针指向数组的第一个数字，我们称之为头指针，向右移动；一个指针指向最后一个数字，称之为尾指针，向左移动。

这样，两个指针分别从数组的头部和尾部向数组的中间移动，如果第一个指针指向的数字是偶数而第二个指针指向的数字是奇数，我们就交换这两个数字。

因为按照题目要求，最终是为了让奇数排在数组的前面，偶数排在数组的后面，所以头指针理应指向的就是奇数，尾指针理应指向的就是偶数，故当头指针指向的是偶数且尾指针指向的是奇数时，我们就当立即交换它们所指向的数字。

思路有了，接下来，写代码实现：

//判断是否为奇数
bool IsOddNumber(int data)
{
    return data & 1 == 1;
}
//奇偶互换
void OddEvenSort(int *pData, unsigned int length)
{
    if (pData == NULL || length == 0)
        return;
    int *pBegin = pData;
    int *pEnd = pData + length - 1;
    while (pBegin < pEnd)
    {
        //如果pBegin指针指向的是奇数，正常，向右移
        if (IsOddNumber(*pBegin))  
        {
            pBegin++;
        }
        //如果pEnd指针指向的是偶数，正常，向左移
        else if (!IsOddNumber(*pEnd))
        {
            pEnd--;
        }
        else
        {
            //否则都不正常，交换
            //swap是STL库函数，声明为void swap(int& a, int& b);
            swap(*pBegin, *pEnd);
        }
    }
}

本方法通过头尾两个指针往中间扫描，一次遍历完成所有奇数偶数的重新排列，时间复杂度为O(n)。

解法二

我们先来看看快速排序partition过程的第二种实现是具体怎样的一个原理。

partition分治过程，每一趟排序的过程中，选取的主元都会把整个数组排列成一大一小的序列，继而递归排序完整个数组。如下伪代码所示：

PARTITION(A, p, r)
1  x ← A[r]
2  i ← p - 1
3  for j ← p to r - 1
4       do if A[j] ≤ x
5             then i ← i + 1
6                  exchange A[i] <-> A[j]
7  exchange A[i + 1] <-> A[r]
8  return i + 1

举个例子如下：现要对数组data = {2, 8,7, 1, 3, 5, 6, 4}进行快速排序，为了表述方便，令i指向数组头部前一个位置，j指向数组头部元素，j在前，i在后，双双从左向右移动。

① j 指向元素2时，i 也指向元素2，2与2互换不变

i  p/j
      2   8   7   1   3   5   6   4(主元)

② 于是j 继续后移，直到指向了1，1 <= 4，于是i++，i 指向8，故j 所指元素1 与 i 所指元素8 位置互换：

     i       j
  2   1   7   8   3   5   6   4

③ j 继续后移，指到了元素3,3 <= 4，于是同样i++，i 指向7，故j 所指元素3 与 i 所指元素7 位置互换：

        i       j
  2   1   3   8   7   5   6   4

④ j 一路后移，没有再碰到比主元4小的元素：

          i               j
  2   1   3   8   7   5   6   4

⑤ 最后，A[i + 1] <-> A[r]，即8与4交换，所以，数组最终变成了如下形式：

    2   1   3   4   7   5   6   8

这样，快速排序第一趟完成。就这样，4把整个数组分成了俩部分，2 1 3,7 5 6 8，再递归对这两部分分别进行排序。

借鉴partition的上述实现，我们也可以维护两个指针i和j，一个指针指向数组的第一个数的前一个位置，我们称之为后指针i，向右移动；一个指针指向数组第一个数，称之为前指针j，也向右移动，且前指针j先向右移动。如果前指针j指向的数字是奇数，则令i指针向右移动一位，然后交换i和j指针所各自指向的数字。

因为按照题目要求，最终是为了让奇数排在数组的前面，偶数排在数组的后面，所以i指针理应指向的就是奇数，j指针理应指向的就是偶数，所以，当j指针指向的是奇数时，不正常，我们就当让i++，然后交换i和j指针所各自指向的数字。

参考代码如下：

//奇偶互换
void OddEvenSort2(int data[], int lo, int hi)
{
    int i = lo - 1;
    for (int j = lo; j < hi; j++)
    {
        //data[j]指向奇数，交换
        if ( IsOddNumber(data[j]) )
        {
            i = i + 1;
            swap(data[i], data[j]);
        }
    }
    swap(data[i + 1], data[hi]);
}

此解法一前一后两个指针同时向右扫描的过程中，也是一次遍历完成奇数偶数的重新排列，故时间复杂度也为O(n)。

举一反三

一个未排序整数数组，有正负数，重新排列使负数排在正数前面，并且要求不改变原来的正负数之间相对顺序，比如： input: 1,7,-5,9,-12,15 ans: -5,-12,1,7,9,15 要求时间复杂度O(n),空间O(1)。

分析：如果本题没有这个要求“并且要求不改变原来的正负数之间相对顺序”，那么同奇偶数排序是一道题，但加上这个不能改变正负数之间的相对顺序后，便使得问题变得比较艰难了，若有兴趣，读者可以参考这篇论文《STABLE MINIMUM SPACE PARTITIONING IN LINEAR TIME》。