第五章动态规划 - 5.2 字符串编辑距离

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小牛编辑

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2023-12-01

题目描述

给定一个源串和目标串，能够对源串进行如下操作：

在给定位置上插入一个字符
替换任意字符
删除任意字符

写一个程序，返回最小操作数，使得对源串进行这些操作后等于目标串，源串和目标串的长度都小于2000。

分析与解法

此题常见的思路是动态规划，假如令dp[i][j] 表示源串S[0…i] 和目标串T[0…j] 的最短编辑距离，其边界：dp[0][j] = j，dp[i][0] = i，那么我们可以得出状态转移方程：

dp[i][j] =min{
- dp[i-1][j] + 1 , S[i]不在T[0…j]中
- dp[i-1][j-1] + 1/0 , S[i]在T[j]
- dp[i][j-1] + 1 , S[i]在T[0…j-1]中

}

接下来，咱们重点解释下上述3个式子的含义

关于dp[i-1][j] + 1, s.t. s[i]不在T[0…j]中的说明
- s[i]没有落在T[0…j]中，即s[i]在中间的某一次编辑操作被删除了。因为删除操作没有前后相关性，不妨将其在第1次操作中删除。除首次操作时删除外，后续编辑操作是将长度为i-1的字符串，编辑成长度为j的字符串：即dp[i-1][j]。
- 因此：dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1。
关于dp[i-1][j-1] + 0/1, s.t. s[i] 在T[j]的说明
- 若s[i]经过编辑，最终落在T[j]的位置。
- 则要么s[i] == t[j]，s[i]直接落在T[j]。这种情况，编辑操作实际上是将长度为i-1的S’串，编辑成长度为j-1的T’串：即dp[i-1][j-1]；
- 要么s[i] ≠ t[j]，s[i] 落在T[j]后，要将s[i]修改成T[j]，即在上一种情况的基础上，增加一次修改操作：即dp[i-1][j-1] + 1。
关于dp[i][j-1] + 1, s.t. s[i]在T[0…j-1]中的说明
- 若s[i]落在了T[1…j-1]的某个位置，不妨认为是k，因为最小编辑步数的定义，那么，在k+1到j-1的字符，必然是通过插入新字符完成的。因为共插入了(j-k)个字符，故编辑次数为(j-k)次。而字符串S[1…i]经过编辑，得到了T[1…k]，编辑次数为dp[i][k]。故： dp[i][j] = dp[i][k] + (j-k)。
- 由于最后的(j-k)次是插入操作，可以讲(j-k)逐次规约到dp[i][k]中。即：dp[i][k]+(j-k)=dp[i][k+1] + (j-k-1)
  规约到插入操作为1次，得到
  dp[i][k]+(j-k)
  =dp[i][k+1] + (j-k-1)
  =dp[i][k+2] + (j-k-2)=…
  =dp[i][k+(j-k-1)] + (j-k)-(j-k-1)
  =dp[i][j-1] + 1。

上述的解释清晰规范，但为啥这样做呢？

换一个角度，其实就是字符串对齐的思路。例如把字符串“ALGORITHM”，变成“ALTRUISTIC”，那么把相关字符各自对齐后，如下图所示：

5.2 字符串编辑距离 - 图1

把图中上面的源串S[0…i] = “ALGORITHM”编辑成下面的目标串T[0…j] = “ALTRUISTIC”，我们枚举字符串S和T最后一个字符s[i]、t[j]对应四种情况：（字符-空白）（空白-字符）(字符-字符)（空白-空白）。

由于其中的（空白-空白）是多余的编辑操作。所以，事实上只存在以下3种情况：

下面的目标串空白，即S + 字符X，T + 空白，S变成T，意味着源串要删字符
- dp[i - 1, j] + 1
上面的源串空白，S + 空白，T + 字符，S变成T，最后，在S的最后插入“字符”，意味着源串要添加字符
- dp[i, j - 1] + 1
上面源串中的的字符跟下面目标串中的字符不一样，即S + 字符X，T + 字符Y，S变成T，意味着源串要修改字符
- dp[i - 1, j - 1] + (s[i] == t[j] ? 0 : 1)

综上，可以写出简单的DP状态方程：

//dp[i,j]表示表示源串S[0…i] 和目标串T[0…j] 的最短编辑距离
dp[i, j] = min { dp[i - 1, j] + 1,  dp[i, j - 1] + 1,  dp[i - 1, j - 1] + (s[i] == t[j] ? 0 : 1) }
//分别表示：删除1个，添加1个，替换1个（相同就不用替换）。

参考代码如下：

//dp[i][j]表示源串source[0-i)和目标串target[0-j)的编辑距离
int EditDistance(char *pSource, char *pTarget)
{
    int srcLength = strlen(pSource);
    int targetLength = strlen(pTarget);
    int i, j;
    //边界dp[i][0] = i，dp[0][j] = j  
    for (i = 1; i <= srcLength; ++i)
    {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (j = 1; j <= targetLength; ++j)
    {
        dp[0][j] = j;
    }
    for (i = 1; i <= srcLength; ++i)
    {
        for (j = 1; j <= targetLength; ++j)
        {
            if (pSource[i - 1] == pTarget[j - 1])
            {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            }
            else
            {
                dp[i][j] = 1 + min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[srcLength][targetLength];
}

举一反三

1、传统的编辑距离里面有三种操作，即增、删、改，我们现在要讨论的编辑距离只允许两种操作，即增加一个字符、删除一个字符。我们求两个字符串的这种编辑距离，即把一个字符串变成另外一个字符串的最少操作次数。假定每个字符串长度不超过1000，只有大写英文字母组成。

2、有一亿个数，输入一个数，找出与它编辑距离在3以内的数，比如输入6（0110），找出0010等数，数是32位的。

问题扩展

实际上，关于这个“编辑距离”问题在搜索引擎中有着重要的作用，如搜索引擎关键字查询中拼写错误的提示，如下图所示，当你输入“Jult”后，因为没有这个单词“Jult”，所以搜索引擎猜测你可能是输入错误，进而会提示你是不是找“July”：
5.2 字符串编辑距离 - 图2

当然，面试官还可以继续问下去，如请问，如何设计一个比较这篇文章和上一篇文章相似性的算法？

第五章 动态规划 - 5.2 字符串编辑距离

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