Matlab代数(方程求解)

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2023-03-14

到目前为止，我们已经看到所有的例子都在MATLAB以及它的GNU，或者称为Octave。但是，为了求解基本代数方程，MATLAB和Octave都不同，所以这里将分别介绍MATLAB和Octave。

我们还将讨论代数表达式的分解和简化。

在MATLAB中求解基本代数方程

solve函数用于求解代数方程。在其最简单的形式中，solve函数将引用中的方程式作为参数。

例如，在等式x-5 = 0中求解x，参考以下代码实现 -

solve('x-178=0')

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果 -

Trial>> solve('x-178=0')
ans =

178

也可以这样调用solve函数 -

Trial>> solve('x-110 = 0')
ans =

110

甚至可以不用包括方程的右侧部分 -

Trial>> solve('x-110')
ans =

110

如果方程式涉及多个符号，则默认情况下，MATLAB假定正在求解x，但是，solve函数具有另一种形式 -

solve(equation, variable)

其中，也可以涉及到变量。

例如，要求解v - u - 3t^2 = 0(这里为t的平方)，对于v，在这种情况下，应该书写为 -

solve('v-u-3*t^2=0', 'v')

MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -

ans =
 3*t^2 + u

求解代数中的基本代数方程

roots函数用于求解代数中的代数方程，可以重写上面的例子如下：

例如，要在等式x-5 = 0中求解x的值 -

roots([1, -5])

执行上面示例代码，得到以下结果 -

Trial>> roots([1, -5])

ans =

     5

也可以这样调用roots函数 -

y = roots([1, -5])

执行上面示例代码，得到以下结果 -

Trial>> y = roots([1, -5])

y =

     5

在MATLAB中求解二次方程

solve函数也可以用来求解高阶方程。通常用于求解二次方程。该函数返回数组中方程的根。

以下示例求解二次方程x^2 -7x +12 = 0(注：x^2表示x的平方)。创建脚本文件并键入以下代码 -

eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

执行上面示例代码，得到以下结果 -

Trial>> eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

The first root is: 
3

The second root is: 
4

在Octave中求解二次方程

以下示例解决Octave中的二次方程x^2-7x +12 = 0。创建脚本文件并键入以下代码 -

s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

执行上面示例代码，得到以下结果 -

Trial>> s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
The first root is: 
     4

The second root is: 
     3

求解MATLAB中的高阶方程

solve函数也可以解决高阶方程。例如，下面演示求解(x-3)^2(x-7)= 0(注：(x-3)^2表示(x-3)的平方)的三次方程 -

MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -

ans =
  3
  3
  7

在较高阶方程的情况下，根很长，包含很多项。可以通过将这些根的数值转换为double来获得数值。以下示例解决四阶方程x^4 - 7x^3 + 3x^2 - 5x + 9 = 0(注：x^4表示x的4次方)。

创建脚本文件并键入以下代码 -

eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -

The first root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 1)

The second root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 2)

The third root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 3)

The fourth root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 4)

Numeric value of first root
    1.0598

Numeric value of second root
    6.6304

Numeric value of third root
  -0.3451 - 1.0778i

Numeric value of fourth root
  -0.3451 + 1.0778i

请注意，最后两个根是复数。

在Octave中求解高阶方程

以下示例示解四阶方程：x^4 - 7x3 + 3x^2 - 5x + 9 = 0。

创建脚本文件并键入以下代码 -

v = [1, -7,  3, -5, 9];

s = roots(v);
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -

Trial>> v = [1, -7,  3, -5, 9];

s = roots(v);
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));
Numeric value of first root
    6.6304

Numeric value of second root
    1.0598

Numeric value of third root
  -0.3451 + 1.0778i

Numeric value of fourth root
  -0.3451 - 1.0778i

MATLAB中求解方程组

solve函数也可用于生成包含多个变量的方程组的解。下面来看一个简单的例子来说明这一点。

下面来求解方程式 -

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

创建脚本文件并键入以下代码 -

s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4');
x = s.x
y = s.y

MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -

x =

22/19


y =

-5/57

同样，可以示解决更大的线性系统。考虑以下一组方程式 -

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

在Octave中求解方程组

还可以使用不同的方法来示解n未知数的n线性方程组。下面来看一个简单的例子来说明这一点。

假设要示解方程式 -

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

这种线性方程组可以写成单矩阵方程Ax = b，其中A是系数矩阵，b是包含线性方程右边的列向量，x是表示解的方法的列向量。如下图所示 -

创建脚本文件并键入以下代码 -

A = [5, 9; 3, -6];
b = [5;4];
A \ b

执行上面示例代码，得到以下结果 -

ans =

   1.157895
  -0.087719

同样，可以示解下面给出的较大的方程组 -

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

在MATLAB中扩展和集合方程

expand 和 collect函数分别扩展和集合方程。以下示例演示了这些概念 -

当使用许多符号功能时，应该声明变量为符号。

创建脚本文件并键入以下代码 -

syms x %symbolic variable x
syms y %symbolic variable x
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))

% collecting equations
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))

执行上面示例代码，得到以下结果 -

 ans =
 x^2 + 4*x - 45
 ans =
 x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
 ans =
 2*cos(x)*sin(x)
 ans =
 cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
 ans =
 x^4 - 7*x^3
 ans =
 x^6 - 8*x^5 + 15*x^4

在Octave扩展和集合方程

需要有symbolic包，它提供了expand和collect函数来分别扩展和集合方程。以下示例演示了这些概念 -

当使用许多符号功能时，应该声明变量是符号，但是Octave具有不同的方法来定义符号变量。注意使用的是Sin和Cos，它们是定义在symbolic包中的。

创建脚本文件并键入以下代码 -

% first of all load the package, make sure its installed.
pkg load symbolic

% make symbols module available
symbols

% define symbolic variables
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');

% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))

% collecting equations
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)

运行文件时，会显示以下结果 -

ans =

-45.0+x^2+(4.0)*x
ans =

210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x
ans =

sin((2.0)*x)
ans =

cos(y+x)
ans =

x^(3.0)*(-7.0+x)
ans =

(-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)

代数表达式的因式分解和简化

因子函数将表达式分解，简化函数简化表达式。以下示例演示了这一概念 -

示例

创建脚本文件并键入以下代码 -

syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
f = factor(y^2*x^2,x)
simplify((x^4-16)/(x^2-4))

执行上面示例代码，得到以下结果 -

Trial>> factorization

ans =

[ x - y, x^2 + x*y + y^2]


f =

[ y^2, x, x]


ans =

x^2 + 4