Matlab整合集成
整合(或也叫作集成)涉及两种本质上不同类型的问题。
- 第一种类型问题是给出了函数的导数，并且想要找到该函数。所以基本上扭转了差异化的过程。 这种反向过程被称为抗分化，或者找到原始函数，或者找到不确定的积分。
- 第二种类型问题是涉及相当多的非常小的数量，然后随着数量的大小接近于零，而术语的数量趋向于无穷大。这个过程导致了定积分的定义。
确定的积分用于查找区域，体积，重心，转动惯量，由力完成的工作以及许多其他应用。
使用MATLAB找到不确定的积分
根据定义，如果函数f(x)的导数是f'(x)，那么可以说f'(x)相对于x的不确定积分是f(x)。 例如，由于x^2的导数(相对于x)为2x，可以说2x的不确定积分是x^2。
在符号中 -
因此可相当于 -
不确定积分并不是唯一的，因为对于常数c的任何值，x^2 + c的导数也将是2x。
这用符号表示为 -
其中，c被称为“任意常数”。
MATLAB提供了一个用于计算表达式积分的int命令。 为了得出一个函数的无限积分的表达式，它的写法为 -
int(f);
例如，引用之前的例子 -
syms x
int(2*x)
MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -
ans =
x^2
示例1
在这个例子中，有一些常用表达式的积分。 创建脚本文件并在其中键入以下代码 -
syms x n
int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)
MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -
ans =
piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
-cos(n*t)/n
ans =
(a*sin(pi*t))/pi
ans =
a^x/log(a)
示例2
创建脚本文件并在其中键入以下代码 -
syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))
int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))
int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))
请注意，
pretty函数返回表达式的更可读格式。
MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -
ans =
sin(x)
ans =
exp(x)
ans =
x*(log(x) - 1)
ans =
log(x)
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
2 4
24 cos(5 x) 24 x sin(5 x) 12 x cos(5 x) x cos(5 x)
----------- + ------------- - -------------- + ----------- -
3125 625 125 5
3 5
4 x sin(5 x) x sin(5 x)
------------- + -----------
25 5
ans =
-1/(4*x^4)
ans =
tan(x)
2
x (3 x - 5 x + 1)
ans =
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
6 5 4 3
7 x 3 x 5 x x
- ---- - ---- + ---- + --
12 5 8 2
MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -
使用MATLAB查找定积分
根据定义，定积分基本上是一个总和的极限。 我们使用定积分来查找曲线和x轴之间的面积以及两条曲线之间的面积。定量积分也可用于其他情况，其中所需数量可以表示为总和的极限。
通过传递要计算积分的极限，int函数可用于定积分。
参考公式 -
它的写法是 -
int(x, a, b)
例如，要计算的值是 -
因此，可以书写为 -
int(x, 4, 9)
MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -
ans =
65/2
以下是以上示例的Octave写法 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));
可以使用Octave提供的quad()函数编写另一个替代求解代码，如下所示：
pkg load symbolic
symbols
f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));
示例1
下面来计算x轴和曲线y = x^3-2x + 5和纵坐标x = 1和x = 2之间的面积。
所需面积由公式计算 -
创建脚本文件并键入以下代码 -
f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));
MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -
a =
23/4
Area:
5.7500
以下是上面示例的Octave写法 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));
可以使用Octave提供的quad()函数给出一个替代求解代码，如下所示：
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));
MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -
Area:
5.7500
示例2
查找曲线下面积：f(x)= x^2 cos(x)，对于-4≤x≤9。
创建一个脚本文件并写下面的代码 -
f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));
MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -
同时也会输出以下内容 -
a =
8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)
Area:
0.3326
以下是上面示例的Octave写法 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");
ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps
[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));