关于python的舍入误差和浮点数

Question

>>> 1/3
0.3333333333333333

>>> 1/3+1/3+1/3
1.0 

我不明白为什么这是1.0。它不应该是0.999999999999吗？因此，我提出了一种解决方案，python对其答案进行了自动舍入，但如果大于，则无法解释以下结果。。。

>>> 1/3+1/3+1/3+1/3+1/3+1/3
1.9999999999999998

>>> (1/3+1/3+1/3)+(1/3+1/3+1/3)
2.0

我以为四舍五入错误是因为尾数中使用的位数有限，指数（浮点数），但0.9999~~9也没有超出位数的限制...有人能解释一下为什么这些结果会这样吗？

Answer 1

这个问题可能会为浮点错误提供一些答案浮点数学坏了吗？

有了括号，编译器将加法分解为更小的部分，减少了浮点的可能性，浮点不应该存在并继续“累积”浮点错误。最有可能的是，当分成3组时，编译器知道总和将是1并将1 1加在一起

Answer 2

这是IEEE-754算法的一个细微之处。写作时：

>>> 1/3
0.3333333333333333

您看到的打印的数字是内部存储的数字的“四舍五入”版本，该数字是根据1/3进行存储的结果。这就是双倍-

现在你可以问，有没有办法找出两者的区别？是，使用分数模块：

>>> from fractions import Fraction
>>> Fraction(1, 3) - Fraction(1/3)
Fraction(1, 54043195528445952)

啊，那很有趣。所以它比实际值略小，区别是1 / 54043195528445952。这当然是意料之中的。

那么，当你把这两个加在一起时会发生什么呢。让我们看看：

>>> Fraction(2,3) - Fraction(1/3+1/3)
Fraction(1, 27021597764222976)

同样，您接近rds的2/3，但仍然不太接近。让我们再做一次加法：

>>> Fraction(1,1) - Fraction(1/3+1/3+1/3)
Fraction(0, 1)

答对 了对于其中的3个，表示形式正好是1。

为什么会这样？好的，在每次加法中，你都会得到一个接近你认为答案应该是什么的数字，但是内部舍入会导致结果变成一个接近的数字，这不是你想要的。再加上三个选项，你的直觉告诉你什么，以及内部舍入是否匹配。

必须强调的是，加法不会产生1/3 1/3 1/3；它只生成一个内部值，其最接近的IEEE-754双精度浮点值表示形式是1。这是一个微妙但重要的区别。希望有帮助！

Answer 3

大多数Python实现使用二进制浮点格式，最常见的是IEEE-754 binary64格式。此格式没有十进制数字。它有53个二进制数字。

当此格式与舍入到最近的偶数关系一起使用时，计算1/3得到0.3333333333333333148296162562473909929472198486328125。默认情况下，Python实现无法显示全部值；它显示“0.3333333333333333333”，这会误导您。

将此数字添加到自身后，结果为0.6666666666662965923251249478198587894439697265625。这个结果是准确的；它没有舍入误差。（也就是说，它没有新的舍入误差；它本身就是0.3333333333333148296162562473909939472198486328125的和。）

再次添加0.333333333333333314829616256247390992939472198486328125时，实数结果不适合53位。所以结果必须四舍五入。这个舍入恰好向上舍入，正好产生1。

再次添加0.333333333333333314829616256247390992939472198486328125时，结果再次不匹配，并四舍五入。这一次，舍入正好向下，生成1.333333333333259318465024985639717578887939453125。

后续添加产生1.666666666666666518636930049979127943515777587890625，然后1.9999999999999997779553950749686919152736663818359375，Python实现显示为“1.9999999999999998”。

当您将算术分组为（1/3 1/3 1/3) (1/3 1/3 1/3)时，则每个括号项目都获得1，如上所述，1 1当然是2。