计算浮点数时可能出现的最大舍入误差

Question

我正在用Java开发一个时间关键型算法，因此没有使用BigDecimal。为了处理舍入误差，我设置了一个误差上限，在这个上限之下，不同的浮点数被认为是完全相同的。现在的问题是，这个界限应该是什么？或者换句话说，当对浮点数（浮点数加、减、乘、除）执行计算操作时，可能出现的最大舍入误差是什么？

通过我做的一个实验，似乎1e-11的范围就足够了。

PS：这个问题与语言无关。

编辑：我使用的是double数据类型。这些数字是通过Random的nextDouble（）方法生成的。

编辑2：似乎我需要根据我使用的浮点数的生成方式来计算错误。nextDouble（）方法如下所示：

public double nextDouble() {
    return (((long)(next(26)) << 27) + next(27))
        / (double)(1L << 53); }

基于此方法中的常数，我应该能够计算出使用此方法生成的浮点数可能出现的最大错误（其机器epsilon？）。如果有人能发布计算结果，我会很高兴的。

Answer 1

这取决于：

1. 你的算法
2. 涉及数字的大小

例如，考虑函数<代码> f（x）＝a*（b-（cd））< /代码>没有什么大不了的，不是吗？

结果是当d

让我们说：

a = 10e200
b = c = 5
d = 10e-90

这完全是编造的，但你明白了。重点是，c和d之间的量级差异意味着

c + d = c (small rounding error because d << c)
b - (c + d) = 0 (should be 10e-90)
a * (b - (c + d)) = 0 (where it really should be 10e110)

长话短说，有些运算（尤其是减法）会让你丧命。同样，你需要看的不是生成函数，而是你对数字（你的算法）所做的运算。

Answer 2

单次简单运算的最坏舍入误差是包含运算实数结果的两个双精度整数之间的间隙的一半。Random的nextDouble方法的结果是“从0.0d（含）到1.0d（不含）”。对于这些数字，最大的差距约为1e-16，最坏情况下的舍入误差约为5e-17。

下面是一个程序，它打印一些样本数的差距，包括Random的nextTwo的最大结果：

public class Test {
  public static void main(String[] args) {
    System.out.println("Max random result gap: "
        + Math.ulp(Math.nextAfter(1.0, Double.NEGATIVE_INFINITY)));
    System.out.println("1e6 gap: "
        + Math.ulp(1e6));
    System.out.println("1e30 gap: "
        + Math.ulp(1e30));
  }
}

输出：

Max random result gap: 1.1102230246251565E-16
1e6 gap: 1.1641532182693481E-10
1e30 gap: 1.40737488355328E14

根据您正在进行的计算，误差可能会在多个操作中累积，从而产生比您从这种简单的单操作方法中预测的更大的总舍入误差。正如马克·迪金森（Mark Dickinson）在评论中所说，“数值分析比这要复杂一些。”