计算参数以定义二次贝塞尔曲线的分段

Question

我有一个描述为（startX，startY）到（anchorX，anchorY）的二次贝塞尔曲线，并使用一个控制点（controlX，controlY）。

我有两个问题：

（1）我想基于x点确定该曲线上的y点。

（2）然后，给定贝塞尔曲线上的线段（由贝塞尔曲线上的两个中间点定义（startX’，startY’，anchorX’，anchorY’）），我想知道该线段的控制点使其与原始贝塞尔曲线完全重叠。

为什么？我需要这些信息以进行优化。我正在绘制许多水平贝塞尔曲线。当贝塞尔曲线大于屏幕时，性能会受到影响，因为渲染引擎最终会渲染超出可见范围的渲染。这个问题的答案将使我仅呈现可见的内容。

Answer 1

第1部分

二次贝塞尔曲线的公式为：

**B** （t）= **a** （1-t）2     + 2 **b** t（1-t）+ **c** t 2 
     = **a** （1-2t + t 2）+ 2 **b** t-2 **b** t 2 + **c** t 2 
     =（ **a** -2 **b** + **c** ）t 2 +2（ **b** - **a** ）t + **a**

其中粗体表示向量。随着 乙 X给出（T），我们有：

x =（ **a** x -2 **b** x + **c** x）t 2 +2（ **b** x - **a** x）t + **a** x

其中 v X是的x分量 v 。

根据二次方程式

     -2（ **b** x - **a** x）±2√（（ **b** x - **a** x）2 - **a** x（ **a** x -2 **b** x + **c** x））
t = -----------------------------------------
             （2 **a** x（ **a** x -2 **b** x + **c** x））

     **a** x - **b** x ±√（ **b** x 2 - **a** x **c** x）
  = ----------------------
         **a** x（ **a** x -2 **b** x + **c** x）

假设存在解，则将t插回原始方程式，以得到给定x处 B （t）的其他分量。

第2部分

您可以仅将参数参数的域限制为[0,1]的适当子区间，而不是生成与第一条曲线的一部分重合的第二条Bezier曲线（我现在不喜欢对符号进行运算）。也就是说，使用第1部分来找到x的两个不同值的t值；将这些t值称为i和j。为t∈[i，j]
绘制 B （t）。等效地，为t∈[0,1] 绘制 B （t（ji）+ i）。