CSGraph（CSGraph）

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2023-12-01

CSGraph代表Compressed Sparse Graph ，它专注于基于稀疏矩阵表示的快速图算法。

图形表示

首先，让我们了解稀疏图是什么以及它在图表表示中的作用。

什么是稀疏图？

图只是节点的集合，它们之间有链接。图表几乎可以代表任何东西 - 社交网络连接，其中每个节点都是一个人并且与熟人相连; 图像，其中每个节点是像素并且连接到相邻像素; 高维分布中的点，每个节点连接到最近的邻居; 几乎任何你能想象到的东西。

表示图数据的一种非常有效的方法是在稀疏矩阵中:让我们称之为G.矩阵G的大小为N×N，G [i，j]给出节点'i'和节点之间的连接值'J'。稀疏图形主要包含零 - 也就是说，大多数节点只有少量连接。在大多数感兴趣的情况下，该属性证明是正确的。

稀疏图子模块的创建是由scikit-learn中使用的几种算法推动的，其中包括以下内容 -

Isomap - 一种流形学习算法，需要在图形中找到最短路径。
Hierarchical clustering - 一种基于最小生成树的聚类算法。
Spectral Decomposition - 一种基于稀疏图拉普拉斯算子的投影算法。

作为一个具体的例子，假设我们想要代表以下无向图 -

该图有三个节点，其中节点0和1通过权重2的边连接，节点0和2通过权重1的边连接。我们可以构造密集，掩蔽和稀疏表示，如下例所示，请记住，无向图由对称矩阵表示。

G_dense = np.array([ [0, 2, 1],
                     [2, 0, 0],
                     [1, 0, 0] ])
G_masked = np.ma.masked_values(G_dense, 0)
from scipy.sparse import csr_matrix
G_sparse = csr_matrix(G_dense)
print G_sparse.data

上述程序将生成以下输出。

array([2, 1, 2, 1])

这与前面的图相同，除了节点0和2通过零权重边连接。在这种情况下，上面的密集表示会导致歧义 - 如果零是有意义的值，如何表示非边缘。在这种情况下，必须使用掩码或稀疏表示来消除歧义。

让我们考虑以下示例。

from scipy.sparse.csgraph import csgraph_from_dense
G2_data = np.array
([
   [np.inf, 2, 0 ],
   [2, np.inf, np.inf],
   [0, np.inf, np.inf]
])
G2_sparse = csgraph_from_dense(G2_data, null_value=np.inf)
print G2_sparse.data

上述程序将生成以下输出。

array([ 2., 0., 2., 0.])

使用稀疏图表的字梯子

Word Ladders是由Lewis Carroll发明的游戏，通过在每一步更改单个字母来链接单词。例如 -

APE → APT → AIT → BIT → BIG → BAG → MAG → MAN

在这里，我们分七步从“APE”变为“MAN”，每次更换一个字母。问题是 - 我们可以使用相同的规则找到这些单词之间的较短路径吗？这个问题自然表示为稀疏图问题。节点将对应于单个单词，并且我们将在最多相同的单词之间创建连接 - 一个字母。

获得单词列表

首先，当然，我们必须获得有效单词列表。我正在运行Mac，而Mac在以下代码块中给出的位置有一个单词字典。如果您使用的是其他体系结构，则可能需要搜索一下才能找到系统字典。

wordlist = open('/usr/share/dict/words').read().split()
print len(wordlist)

上述程序将生成以下输出。

我们现在想看看长度为3的单词，所以让我们选择正确长度的单词。我们还将消除以大写字母（专有名词）开头或包含非字母数字字符（如撇号和连字符）的单词。最后，我们将确保所有内容都是小写的，以便稍后进行比较。

word_list = [word for word in word_list if len(word) == 3]
word_list = [word for word in word_list if word[0].islower()]
word_list = [word for word in word_list if word.isalpha()]
word_list = map(str.lower, word_list)
print len(word_list)

上述程序将生成以下输出。

现在，我们列出了1135个有效的三个字母单词（确切的数字可能会根据使用的特定列表而改变）。这些单词中的每一个都将成为我们图表中的一个节点，我们将创建连接与每对单词相关联的节点的边，这两个单词仅相差一个字母。

import numpy as np
word_list = np.asarray(word_list)
word_list.dtype
word_list.sort()
word_bytes = np.ndarray((word_list.size, word_list.itemsize),
   dtype = 'int8',
   buffer = word_list.data)
print word_bytes.shape

上述程序将生成以下输出。

(1135, 3)

我们将使用每个点之间的汉明距离来确定哪些词对是连接的。汉明距离测量两个向量之间的条目部分，它们不同:汉明距离等于1/N1/N的任何两个单词，其中NN是字梯数，它们连接在单词梯形图中。

from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
from scipy.sparse import csr_matrix
hamming_dist = pdist(word_bytes, metric = 'hamming')
graph = csr_matrix(squareform(hamming_dist < 1.5/word_list.itemsize))

比较距离时，我们不使用相等，因为浮点值可能不稳定。只要单词列表的两个条目不相同，不等式就会产生所需的结果。现在，我们的图形已经设置好，我们将使用最短路径搜索来查找图形中任意两个单词之间的路径。

i1 = word_list.searchsorted('ape')
i2 = word_list.searchsorted('man')
print word_list[i1],word_list[i2]

上述程序将生成以下输出。

ape, man

我们需要检查这些是否匹配，因为如果单词不在列表中，则输出中将出现错误。现在，我们所需要的只是在图中找到这两个指数之间的最短路径。我们将使用dijkstra’s算法，因为它允许我们只找到一个节点的路径。

from scipy.sparse.csgraph import dijkstra
distances, predecessors = dijkstra(graph, indices = i1, return_predecessors = True)
print distances[i2]

上述程序将生成以下输出。

5.0

因此，我们看到'ape'和'man'之间的最短路径只包含五个步骤。我们可以使用算法返回的前驱来重构此路径。

path = []
i = i2
while i != i1:
   path.append(word_list[i])
   i = predecessors[i]
path.append(word_list[i1])
print path[::-1]i2]

上述程序将生成以下输出。

['ape', 'ope', 'opt', 'oat', 'mat', 'man']