Linalg

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2023-12-01

SciPy使用优化的ATLAS LAPACK和BLAS库构建。它具有非常快速的线性代数功能。所有这些线性代数例程都期望一个可以转换为二维数组的对象。这些例程的输出也是二维数组。

SciPy.linalg与NumPy.linalg

scipy.linalg包含numpy.linalg中的所有函数。另外，scipy.linalg还有一些不在numpy.linalg中的高级函数。使用scipy.linalg而不是numpy.linalg的另一个好处是它总是使用BLAS/LAPACK支持进行编译，而对于NumPy，这是可选的。因此，SciPy版本可能会更快，具体取决于NumPy的安装方式。

线性方程组

对于未知的x，y值， scipy.linalg.solve特征求解线性方程a * x + b * y = Z.

作为示例，假设期望解决以下联立方程。

x + 3y + 5z = 10

2x + 5y + z = 8

2x + 3y + 8z = 3

为了求解x，y，z值的上述等式，我们可以使用矩阵求逆找到解向量，如下所示。

$$\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 5 & 1\\ 2 & 3 & 8 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 10\\ 8\\ 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{25} \begin{bmatrix} -232\\ 129\\ 19 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9.28\\ 5.16\\ 0.76 \end{bmatrix}.$$

但是，最好使用linalg.solve命令，它可以更快，更稳定。

求解函数采用两个输入'a'和'b'，其中'a'表示系数，'b'表示相应的右手侧值并返回解数组。

让我们考虑以下示例。

#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np
#Declaring the numpy arrays
a = np.array([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]])
b = np.array([2, 4, -1])
#Passing the values to the solve function
x = linalg.solve(a, b)
#printing the result array
print x

上述程序将生成以下输出。

array([ 2., -2., 9.])

寻找决定因素

方阵A的行列式通常表示为| A | 并且是线性代数中经常使用的量。在SciPy中，这是使用det()函数计算的。它将矩阵作为输入并返回标量值。

让我们考虑以下示例。

#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np
#Declaring the numpy array
A = np.array([[1,2],[3,4]])
#Passing the values to the det function
x = linalg.det(A)
#printing the result
print x

上述程序将生成以下输出。

-2.0

特征值和特征向量

特征值 - 特征向量问题是最常用的线性代数运算之一。通过考虑以下关系，我们可以找到方形矩阵（A）的特征值（λ）和相应的特征向量（v） -

Av = λv

scipy.linalg.eig根据普通或广义特征值问题计算特征值。该函数返回特征值和特征向量。

让我们考虑以下示例。

#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np
#Declaring the numpy array
A = np.array([[1,2],[3,4]])
#Passing the values to the eig function
l, v = linalg.eig(A)
#printing the result for eigen values
print l
#printing the result for eigen vectors
print v

上述程序将生成以下输出。

array([-0.37228132+0.j, 5.37228132+0.j]) #--Eigen Values
array([[-0.82456484, -0.41597356], #--Eigen Vectors
       [ 0.56576746, -0.90937671]])

奇异值分解

奇异值分解（SVD）可以被认为是特征值问题对非平方矩阵的扩展。

scipy.linalg.svd将矩阵'a'分解为两个酉矩阵'U'和'Vh'以及一个奇异值（真实，非负）的1-D数组'，使得a == U * S * Vh，其中'S'是一个适当形状的零矩阵，主对角线's'。

让我们考虑以下示例。

#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np
#Declaring the numpy array
a = np.random.randn(3, 2) + 1.j*np.random.randn(3, 2)
#Passing the values to the eig function
U, s, Vh = linalg.svd(a)
# printing the result
print U, Vh, s

上述程序将生成以下输出。

(
   array([
      [ 0.54828424-0.23329795j, -0.38465728+0.01566714j,
      -0.18764355+0.67936712j],
      [-0.27123194-0.5327436j , -0.57080163-0.00266155j,
      -0.39868941-0.39729416j],
      [ 0.34443818+0.4110186j , -0.47972716+0.54390586j,
      0.25028608-0.35186815j]
   ]),
   array([ 3.25745379, 1.16150607]),
   array([
      [-0.35312444+0.j , 0.32400401+0.87768134j],
      [-0.93557636+0.j , -0.12229224-0.33127251j]
   ])
)